このページは、数研出版：数学Ⅱ[709]
第６章 微分法と積分法
第６章 微分法と積分法
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数研出版数学Ⅱ 第１章 式と証明
数研出版数学Ⅱ 第２章 複素数と方程式
数研出版数学Ⅱ 第３章 図形と方程式
数研出版数学Ⅱ 第４章 三角関数
数研出版数学Ⅱ 第５章 指数関数と対数関数
数研出版数学Ⅱ 第６章 微分法と積分法
第６章 微分法と積分法
第１節 微分係数と導関数
p.195 深める\(\begin{eqnarray}~~~f'(a)&=&\lim_{h\to0}\displaystyle \frac{\,(a+h)^2-a^2\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}\displaystyle \frac{\,2ah+h^2\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}(2a+h)\\[3pt]~~~&=&2a\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜微分係数の定義
解法のPoint｜微分係数の定義
p.197 発展 練習3\({\small (1)}~-4\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜x=aで定義されない関数の極限値
解法のPoint｜x=aで定義されない関数の極限値
p.199 練習5\(\begin{eqnarray}{\small (1)}~y’&=&\lim_{h\to0}\displaystyle \frac{\,3(x+h)^2-3x^2\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}\displaystyle \frac{\,6xh+3h^2\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}(6x+3h)\\[3pt]~~~&=&6x\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}{\small (2)}~y’&=&\lim_{h\to0}\displaystyle \frac{\,-(x+h)^2-(-x^2)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}\displaystyle \frac{\,-2xh-h^2\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}(-2x-h)\\[3pt]~~~&=&-2x\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜導関数の定義
\(\begin{eqnarray}{\small (2)}~y’&=&\lim_{h\to0}\displaystyle \frac{\,-(x+h)^2-(-x^2)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}\displaystyle \frac{\,-2xh-h^2\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}(-2x-h)\\[3pt]~~~&=&-2x\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜導関数の定義
p.201 練習6\({\small (1)}~y’=2x-2\)
\({\small (2)}~y’=-6x-5\)
\({\small (3)}~y’=9x^2-4x+4\)
\({\small (4)}~y’=-6x^2+5\)
\({\small (5)}~y’=4x^3-9x^2+4\)
\({\small (6)}~y’=4x^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
\({\small (7)}~y’=12x+7\)
\({\small (8)}~y’=6x^2+6x+3\)
解法のPoint｜関数xⁿや定数関数の微分
\({\small (2)}~y’=-6x-5\)
\({\small (3)}~y’=9x^2-4x+4\)
\({\small (4)}~y’=-6x^2+5\)
\({\small (5)}~y’=4x^3-9x^2+4\)
\({\small (6)}~y’=4x^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
\({\small (7)}~y’=12x+7\)
\({\small (8)}~y’=6x^2+6x+3\)
解法のPoint｜関数xⁿや定数関数の微分
p.203 練習9\(~~~\displaystyle \frac{\,dS\,}{\,da\,}=12a~,~\displaystyle \frac{\,dV\,}{\,da\,}=3a^2\)
解法のPoint｜変数がx,y以外の文字の導関数
解法のPoint｜変数がx,y以外の文字の導関数
問題
p.204 問題 1\({\small (1)}~\) \(y^{\prime}=6x^2-4\)
\({\small (2)}~\) \(y^{\prime}=-2x^3-2x^2+x-1\)
\({\small (3)}~\) \(y^{\prime}=3x^2-6x-1\)
\({\small (4)}~\) \(y^{\prime}=-3x^2+18x-27\)
\({\small (5)}~\) \(y^{\prime}=3x^2\)
\({\small (6)}~\) \(y^{\prime}=24x^2\)
解法のPoint｜関数xⁿや定数関数の微分
\({\small (2)}~\) \(y^{\prime}=-2x^3-2x^2+x-1\)
\({\small (3)}~\) \(y^{\prime}=3x^2-6x-1\)
\({\small (4)}~\) \(y^{\prime}=-3x^2+18x-27\)
\({\small (5)}~\) \(y^{\prime}=3x^2\)
\({\small (6)}~\) \(y^{\prime}=24x^2\)
解法のPoint｜関数xⁿや定数関数の微分
p.204 問題 2\({\small (1)}~\) \(a+b-1\)
\({\small (2)}~\)[証明] \(f(x)\) を \(x\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^2)^{\prime}-(x)^{\prime}+(1)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2x-1\end{eqnarray}\)
よって、\(x=c\) のとき微分係数 \(f^{\prime}(c)\) は、
\(f^{\prime}(c)=2c-1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
条件より、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) が等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~2c-1&=&b+a-1
\\[3pt]~~~2c&=&a+b
\\[3pt]~~~c&=&\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(c=\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,}\) となる [終]
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\({\small (2)}~\)[証明] \(f(x)\) を \(x\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^2)^{\prime}-(x)^{\prime}+(1)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2x-1\end{eqnarray}\)
よって、\(x=c\) のとき微分係数 \(f^{\prime}(c)\) は、
\(f^{\prime}(c)=2c-1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
条件より、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) が等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~2c-1&=&b+a-1
\\[3pt]~~~2c&=&a+b
\\[3pt]~~~c&=&\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(c=\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,}\) となる [終]
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p.204 問題 3\({\small (1)}~\)[証明] \(y=(ax+b)^2\) を展開すると、
\(y=a^2x^2+2abx+b^2\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&a^2 \cdot (x^2)^{\prime}+2ab \cdot (x)^{\prime}+(b^2)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&a^2 \cdot 2x+2ab \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&2a^2x+2ab
\\[3pt]~~~&=&2a(ax+b)\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y=(ax+b)^2\) のとき \(y^{\prime}=2a(ax+b)\) が成り立つ [終]
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(ax+b)^3
\\[3pt]~~~&=&(ax)^3+3\cdot(ax)^2\cdot b+3\cdot(ax)\cdot b^2+b^3
\\[3pt]~~~&=&a^3x^3+3a^2bx^2+3ab^2x+b^3
\end{eqnarray}\)
微分すると、
したがって、
\(y=(ax+b)^3\) のとき \(y^{\prime}=3a(ax+b)^2\) が成り立つ [終]
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\(y=a^2x^2+2abx+b^2\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&a^2 \cdot (x^2)^{\prime}+2ab \cdot (x)^{\prime}+(b^2)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&a^2 \cdot 2x+2ab \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&2a^2x+2ab
\\[3pt]~~~&=&2a(ax+b)\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y=(ax+b)^2\) のとき \(y^{\prime}=2a(ax+b)\) が成り立つ [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(y=(ax+b)^3\) を展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(ax+b)^3
\\[3pt]~~~&=&(ax)^3+3\cdot(ax)^2\cdot b+3\cdot(ax)\cdot b^2+b^3
\\[3pt]~~~&=&a^3x^3+3a^2bx^2+3ab^2x+b^3
\end{eqnarray}\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&a^3 \cdot (x^3)^{\prime}+3a^2b \cdot (x^2)^{\prime}+3ab^2 \cdot (x)^{\prime}+(b^3)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&a^3 \cdot 3x^2+3a^2b \cdot 2x+3ab^2 \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3a^3x^2+6a^2bx+3ab^2
\\[3pt]~~~&=&3a(a^2x^2+2abx+b^2)
\\[3pt]~~~&=&3a(ax+b)^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a^3 \cdot 3x^2+3a^2b \cdot 2x+3ab^2 \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3a^3x^2+6a^2bx+3ab^2
\\[3pt]~~~&=&3a(a^2x^2+2abx+b^2)
\\[3pt]~~~&=&3a(ax+b)^2\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y=(ax+b)^3\) のとき \(y^{\prime}=3a(ax+b)^2\) が成り立つ [終]
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p.204 問題 6 \(f(x)=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x+1\)
解法のPoint｜関数f(x)と導関数f'(x)を含む等式
解法のPoint｜関数f(x)と導関数f'(x)を含む等式
第２節 導関数の応用
p.206 練習11\({\small (1)}~\)\(y=-x-1~,~(1~,~-2)\)
または、
\(y=7x-25~,~(5~,~10)\)
\({\small (2)}~\)\(y=3x-2~,~(1~,~1)\)
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または、
\(y=7x-25~,~(5~,~10)\)
\({\small (2)}~\)\(y=3x-2~,~(1~,~1)\)
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p.206 深める\(y=x^2+4\) と \(y=-2x+3\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+4&=&-2x+3\\[2pt]~~~x^2+2x+1&=&0\end{eqnarray}\)
判別式は、
\(~~~D_1=2^2-4\cdot1\cdot1=0\)
よって、重解をもつ
また、\(y=x^2+4\) と \(y=6x-5\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+4&=&6x-5\\[2pt]~~~x^2-6x+9&=&0\end{eqnarray}\)判別式は、\(~~~D_2=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=0\)
よって、重解をもつ
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+4&=&-2x+3\\[2pt]~~~x^2+2x+1&=&0\end{eqnarray}\)
判別式は、
\(~~~D_1=2^2-4\cdot1\cdot1=0\)
よって、重解をもつ
また、\(y=x^2+4\) と \(y=6x-5\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+4&=&6x-5\\[2pt]~~~x^2-6x+9&=&0\end{eqnarray}\)判別式は、\(~~~D_2=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=0\)
よって、重解をもつ
p.209 問1[証明] \(f(x)=x^3+2x\) の導関数は、
\(f'(x)=3x^2+2\)
これは任意の \(x\) に対して \(f'(x) \gt 0\)
したがって、関数 \(f(x)=x^3+2x\) は常に単調に増加する [終]
解法のPoint｜導関数と関数の増減
\(f'(x)=3x^2+2\)
これは任意の \(x\) に対して \(f'(x) \gt 0\)
したがって、関数 \(f(x)=x^3+2x\) は常に単調に増加する [終]
解法のPoint｜導関数と関数の増減
p.209 練習12\({\small (1)}~\)\(x{\small ~≦~}-3\) で増加
\(-3{\small ~≦~}x{\small ~≦~}-1\) で減少
\(-1{\small ~≦~}x\) で増加
\({\small (2)}~\)\(x{\small ~≦~}-1\) で減少
\(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\) で増加
\(1{\small ~≦~}x\) で減少
\({\small (3)}~\)常に減少
解法のPoint｜導関数と関数の増減
\(-3{\small ~≦~}x{\small ~≦~}-1\) で減少
\(-1{\small ~≦~}x\) で増加
\({\small (2)}~\)\(x{\small ~≦~}-1\) で減少
\(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\) で増加
\(1{\small ~≦~}x\) で減少
\({\small (3)}~\)常に減少
解法のPoint｜導関数と関数の増減
p.211 練習13\({\small (1)}~\)\(x=-1\) で極大値 \(1\)、\(x=0\) で極小値 \(0\)
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\({\small (2)}~\)\(x=1\) で極大値 \(1\)、\(x=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) で極小値 \(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,27\,}\)
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\({\small (2)}~\)\(x=1\) で極大値 \(1\)、\(x=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) で極小値 \(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,27\,}\)
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p.213 練習15\({\small (1)}~\)\(x=-2\) で極小値 \(-27\)
\(x=0\) で極大値 \(5\)
\(x=1\) で極小値 \(0\)
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\(x=0\) で極大値 \(5\)
\(x=1\) で極小値 \(0\)
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\({\small (2)}~\)\(x=0\) で極大値 \(16\)、\(x=\pm2\) で極小値 \(0\)
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\({\small (3)}~\)\(x=0\) で極大値 \(2\)
\(x=1\) で極小値 \(1\)
\(x=2\) で極大値 \(2\)
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\({\small (4)}~\)\(x=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) で極小値 \(-\displaystyle \frac{\,11\,}{\,16\,}\)
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p.215 練習17\({\small (1)}~\)\(x=3\) で最大値 \(22\)、\(x=-2~,~1\) で最小値 \(2\)
\({\small (2)}~\)\(x=2\) で最大値 \(0\)、\(x=3\) で最小値 \(-8\)
\({\small (3)}~\)\(x=-1\) で最大値 \(17\)、\(x=3\) で最小値 \(-15\)
解法のPoint｜3次関数や4次関数の最大値・最小値
\({\small (2)}~\)\(x=2\) で最大値 \(0\)、\(x=3\) で最小値 \(-8\)
\({\small (3)}~\)\(x=-1\) で最大値 \(17\)、\(x=3\) で最小値 \(-15\)
解法のPoint｜3次関数や4次関数の最大値・最小値
p.217 練習19\({\small (1)}~\)１個 \({\small (2)}~\)３個
\({\small (3)}~\)２個 \({\small (4)}~\)２個
解法のPoint｜3次方程式・4次方程式の実数解の個数
\({\small (3)}~\)２個 \({\small (4)}~\)２個
解法のPoint｜3次方程式・4次方程式の実数解の個数
p.218 練習20\({\small (1)}~\)\(a\lt -1~,~0\lt a\) のとき１個
\(a=-1~,~0\) のとき２個
\(-1\lt a\lt 0\) のとき３個
\({\small (2)}~\)\(a\lt 2~,~a=3\) のとき２個
\(a=2\) のとき３個
\(2\lt a\lt 3\) のとき４個
\(a\gt 3\) のとき０個
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\(a=-1~,~0\) のとき２個
\(-1\lt a\lt 0\) のとき３個
\({\small (2)}~\)\(a\lt 2~,~a=3\) のとき２個
\(a=2\) のとき３個
\(2\lt a\lt 3\) のとき４個
\(a\gt 3\) のとき０個
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p.219 練習21[証明] \(f(x)=2x^3-9x^2+12x-4\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&2 \cdot (x^3)^{\prime}-9 \cdot (x^2)^{\prime}+12 \cdot (x)^{\prime}-(4)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&2 \cdot 3x^2-9 \cdot 2x+12 \cdot 1-0\\[3pt]~~~&=&6x^2-18x+12\\[3pt]~~~&=&6(x^2-3x+2)\\[3pt]~~~&=&6(x-1)(x-2)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&6(x-1)(x-2)=0\\[3pt]~~~&&x=1~,~2\end{eqnarray}\)
\(1 \lt x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(2 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&2 \cdot 1^3-9 \cdot 1^2+12 \cdot 1-4\\[3pt]~~~&=&2-9+12-4\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\(x=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&2 \cdot 2^3-9 \cdot 2^2+12 \cdot 2-4\\[3pt]~~~&=&16-36+24-4\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}1\) の区間での増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 1 & \cdots & 2 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & & – & 0 & + \\\hline f(x) & 1 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=2\) のとき最小値 \(0\) をとるので、
\(x{\small ~≧~}1\) で \(f(x){\small ~≧~}0\) となるので、
\(2x^3-9x^2+12x-4{\small ~≧~}0\)
したがって、\(2x^3-9x^2+12x-4{\small ~≧~}0\) [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&2 \cdot (x^3)^{\prime}-9 \cdot (x^2)^{\prime}+12 \cdot (x)^{\prime}-(4)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&2 \cdot 3x^2-9 \cdot 2x+12 \cdot 1-0\\[3pt]~~~&=&6x^2-18x+12\\[3pt]~~~&=&6(x^2-3x+2)\\[3pt]~~~&=&6(x-1)(x-2)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&6(x-1)(x-2)=0\\[3pt]~~~&&x=1~,~2\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、\(x{\small ~≧~}1\) の区間で、
\(1 \lt x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(2 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&2 \cdot 1^3-9 \cdot 1^2+12 \cdot 1-4\\[3pt]~~~&=&2-9+12-4\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\(x=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&2 \cdot 2^3-9 \cdot 2^2+12 \cdot 2-4\\[3pt]~~~&=&16-36+24-4\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}1\) の区間での増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 1 & \cdots & 2 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & & – & 0 & + \\\hline f(x) & 1 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=2\) のとき最小値 \(0\) をとるので、
\(x{\small ~≧~}1\) で \(f(x){\small ~≧~}0\) となるので、
\(2x^3-9x^2+12x-4{\small ~≧~}0\)
したがって、\(2x^3-9x^2+12x-4{\small ~≧~}0\) [終]
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p.219 練習22[証明] 左辺−右辺より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^4+3)-4x\\[3pt]~~~&=&x^4-4x+3\end{eqnarray}\)
\(f(x)=x^4-4x+3\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^4)^{\prime}-4 \cdot (x)^{\prime}+(3)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x^3-4 \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&4x^3-4\\[3pt]~~~&=&4(x^3-1)\\[3pt]~~~&=&4(x-1)(x^2+x+1)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&4(x-1)(x^2+x+1)=0\\[3pt]~~~&&x=1\end{eqnarray}\)
\(x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^4-4 \cdot 1+3\\[3pt]~~~&=&1-4+3\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=1\) のとき最小値 \(0\) をとるので、
\(f(x){\small ~≧~}0\) となるので、
\(x^4-4x+3{\small ~≧~}0\)
したがって、\(x^4+3{\small ~≧~}4x\) [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^4+3)-4x\\[3pt]~~~&=&x^4-4x+3\end{eqnarray}\)
\(f(x)=x^4-4x+3\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^4)^{\prime}-4 \cdot (x)^{\prime}+(3)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x^3-4 \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&4x^3-4\\[3pt]~~~&=&4(x^3-1)\\[3pt]~~~&=&4(x-1)(x^2+x+1)\end{eqnarray}\)
\(x^2+x+1\) の判別式は
\(D=1^2-4 \cdot 1 \cdot 1=-3 \lt 0\) より、
常に \(x^2+x+1 \gt 0\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&4(x-1)(x^2+x+1)=0\\[3pt]~~~&&x=1\end{eqnarray}\)
\(x^2+x+1 \gt 0\) より、\(f^{\prime}(x)\) の符号は \((x-1)\) の符号で決まる。
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^4-4 \cdot 1+3\\[3pt]~~~&=&1-4+3\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=1\) のとき最小値 \(0\) をとるので、
\(f(x){\small ~≧~}0\) となるので、
\(x^4-4x+3{\small ~≧~}0\)
したがって、\(x^4+3{\small ~≧~}4x\) [終]
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問題
p.220 問題 7\({\small (1)}~\) \(a=-1~,~b=2\)
解法のPoint｜接線の条件と曲線の決定
\({\small (2)}~\) \(a=1~,~b=0\)
解法のPoint｜傾きの条件と接線の方程式
解法のPoint｜接線の条件と曲線の決定
\({\small (2)}~\) \(a=1~,~b=0\)
解法のPoint｜傾きの条件と接線の方程式
p.220 問題 8\({\small (1)}~\) \(x{\small ~≦~}-3~,~3{\small ~≦~}x\) で単調に増加する
\(-3{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) で単調に減少する
\(x=-3\) で極大値 \(54\) 、\(x=3\) で極小値 \(-54\)
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\({\small (2)}~\) 常に単調に減少する、極値はない
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\({\small (3)}~\) \(x{\small ~≦~}-2~,~0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\) で単調に増加する
\(-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}0~,~1{\small ~≦~}x\) で単調に減少する
\(x=-2\) で極大値 \(\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\) 、\(x=0\) で極小値 \(0\) 、
\(x=1\) で極大値 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\)
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\(-3{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) で単調に減少する
\(x=-3\) で極大値 \(54\) 、\(x=3\) で極小値 \(-54\)
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\({\small (2)}~\) 常に単調に減少する、極値はない
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\({\small (3)}~\) \(x{\small ~≦~}-2~,~0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\) で単調に増加する
\(-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}0~,~1{\small ~≦~}x\) で単調に減少する
\(x=-2\) で極大値 \(\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\) 、\(x=0\) で極小値 \(0\) 、
\(x=1\) で極大値 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\)
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p.220 問題 11半径 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}r\) 、高さ \(\displaystyle \frac{\,h\,}{\,3\,}\)
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p.220 問題 13[証明] 左辺を \(f(x)\) とおくと、
\(f(x)=x^4+4x^3+28\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^4)^{\prime}+4 \cdot (x^3)^{\prime}+(28)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x^3+4 \cdot 3x^2+0\\[3pt]~~~&=&4x^3+12x^2\\[3pt]~~~&=&4x^2(x+3)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&4x^2(x+3)=0\\[3pt]~~~&&x=-3~,~0\end{eqnarray}\)
\(x \lt -3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(-3 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(0 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-3)&=&(-3)^4+4 \cdot (-3)^3+28\\[3pt]~~~&=&81-108+28\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^4+4 \cdot 0^3+28\\[3pt]~~~&=&28\end{eqnarray}\)
よって、増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}x & \cdots & -3 & \cdots & 0 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & 1 & \nearrow & 28 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=-3\) のとき最小値 \(1\) をとるので、
\(f(x) \gt 0\) となるので、
\(x^4+4x^3+28 \gt 0\) [終]
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\(f(x)=x^4+4x^3+28\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^4)^{\prime}+4 \cdot (x^3)^{\prime}+(28)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x^3+4 \cdot 3x^2+0\\[3pt]~~~&=&4x^3+12x^2\\[3pt]~~~&=&4x^2(x+3)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&4x^2(x+3)=0\\[3pt]~~~&&x=-3~,~0\end{eqnarray}\)
\(4x^2{\small ~≧~}0\) より、\(f^{\prime}(x)\) の符号は \((x+3)\) の符号で決まる。
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(-3 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(0 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-3)&=&(-3)^4+4 \cdot (-3)^3+28\\[3pt]~~~&=&81-108+28\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^4+4 \cdot 0^3+28\\[3pt]~~~&=&28\end{eqnarray}\)
よって、増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}x & \cdots & -3 & \cdots & 0 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & 1 & \nearrow & 28 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=-3\) のとき最小値 \(1\) をとるので、
\(f(x) \gt 0\) となるので、
\(x^4+4x^3+28 \gt 0\) [終]
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第３節 積分法
p.224 練習23\(C\) を積分定数として、
\({\small (1)}~2x^3+C\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^4+C\)
\({\small (3)}~3x^3-x^2-x+C\)
\({\small (4)}~-x^4-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+x+C\)
解法のPoint｜関数xⁿの不定積分
\({\small (1)}~2x^3+C\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^4+C\)
\({\small (3)}~3x^3-x^2-x+C\)
\({\small (4)}~-x^4-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+x+C\)
解法のPoint｜関数xⁿの不定積分
p.224 練習24\(C\) を積分定数として、
\({\small (1)}~2x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-x+C\)
\({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+x^3+C\)
\({\small (3)}~3t^3-t+C\)
\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}t^3-2t^2+t+C\)
解法のPoint｜関数xⁿの不定積分
\({\small (1)}~2x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-x+C\)
\({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+x^3+C\)
\({\small (3)}~3t^3-t+C\)
\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}t^3-2t^2+t+C\)
解法のPoint｜関数xⁿの不定積分
p.226 練習28[証明] \(a\gt -1\) として、４点が
\({\rm A}(a~,~0)~,~{\rm B}(a~,~a+1)\)
\({\rm P}(x~,~0)~,~{\rm Q}(x~,~x+1)\)
となるので、
図の台形 \({\rm ABQP}\) の面積 \(S(x)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S(x)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{(a+1)+(x+1)\}(x-a)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x^2+2x-a^2-2a)&\end{eqnarray}\)
これを微分すると、
\(~~~S'(x)=x+1\)
したがって、\(S'(x)=f(x)\) が成り立つ [終]
\({\rm A}(a~,~0)~,~{\rm B}(a~,~a+1)\)
\({\rm P}(x~,~0)~,~{\rm Q}(x~,~x+1)\)
となるので、
図の台形 \({\rm ABQP}\) の面積 \(S(x)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S(x)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{(a+1)+(x+1)\}(x-a)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x^2+2x-a^2-2a)&\end{eqnarray}\)
これを微分すると、
\(~~~S'(x)=x+1\)
したがって、\(S'(x)=f(x)\) が成り立つ [終]
p.229 練習29\({\small (1)}~27\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\) \({\small (3)}~-11\)
解法のPoint｜関数xⁿの定積分の計算
解法のPoint｜関数xⁿの定積分の計算
p.230 問3[証明] 性質２
\(f(x)~,~g(x)\) の原始関数の１つをそれぞれ \(F(x)~,~G(x)\) とすると、
\(\displaystyle\int \{f(x)+g(x)\}dx\)
\(~=\displaystyle\int f(x)dx+\displaystyle\int g(x)dx\)
\(~=F(x)+G(x)\)
よって、
\(\displaystyle\int_{a}^{b}\{f(x)+g(x)\}dx\)
\(~=\left[ F(x)+G(x) \right]_{a}^{b}\)
\(~=\{F(b)+G(b)\}-\{F(a)+G(a)\}\)
\(~=F(b)-F(a)+G(b)-G(a)\)
\(~=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx+\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx\)
[終]
[証明] 性質３
性質１より、
\(k\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=\displaystyle\int_{a}^{b}kf(x)dx\)
\(l\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx=\displaystyle\int_{a}^{b}lg(x)dx\)
性質２より、
\(k\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx+l\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx\)
\(~=\displaystyle\int_{a}^{b}kf(x)dx+\displaystyle\int_{a}^{b}lg(x)dx\)
\(~=\displaystyle\int_{a}^{b}\{kf(x)+lg(x)\}dx\)
[終]
解法のPoint｜関数xⁿの定積分の計算
\(f(x)~,~g(x)\) の原始関数の１つをそれぞれ \(F(x)~,~G(x)\) とすると、
\(\displaystyle\int \{f(x)+g(x)\}dx\)
\(~=\displaystyle\int f(x)dx+\displaystyle\int g(x)dx\)
\(~=F(x)+G(x)\)
よって、
\(\displaystyle\int_{a}^{b}\{f(x)+g(x)\}dx\)
\(~=\left[ F(x)+G(x) \right]_{a}^{b}\)
\(~=\{F(b)+G(b)\}-\{F(a)+G(a)\}\)
\(~=F(b)-F(a)+G(b)-G(a)\)
\(~=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx+\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx\)
[終]
[証明] 性質３
性質１より、
\(k\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=\displaystyle\int_{a}^{b}kf(x)dx\)
\(l\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx=\displaystyle\int_{a}^{b}lg(x)dx\)
性質２より、
\(k\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx+l\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx\)
\(~=\displaystyle\int_{a}^{b}kf(x)dx+\displaystyle\int_{a}^{b}lg(x)dx\)
\(~=\displaystyle\int_{a}^{b}\{kf(x)+lg(x)\}dx\)
[終]
解法のPoint｜関数xⁿの定積分の計算
p.230 練習30\({\small (1)}~50\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜関数xⁿの定積分の計算
解法のPoint｜関数xⁿの定積分の計算
p.230 問4[証明] 性質４
\(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
\(\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)dx\)
\(=\left[ F(x) \right]_{a}^{a}\)
\(=F(a)-F(a)=0\)
したがって、
\(\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)dx=0\) [終]
[証明] 性質５
\(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
\(\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)dx\)
\(=\left[ F(x) \right]_{b}^{a}\)
\(=F(a)-F(b)\)
\(=-\left(F(b)-F(a)\right)\)
\(=-\left[ F(x) \right]_{a}^{b}\)
\(=-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\)
したがって、
\(\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)dx=-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\) [終]
[証明] 性質６
\(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
\(\displaystyle\int_{a}^{c}f(x)dx+\displaystyle\int_{c}^{b}f(x)dx\)
\(=\left[ F(x) \right]_{a}^{c}+\left[ F(x) \right]_{c}^{b}\)
\(=F(c)-F(a)+F(b)-F(c)\)
\(=F(b)-F(a)\)
\(=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\)
したがって、
\(\displaystyle\int_{a}^{c}f(x)dx+\displaystyle\int_{c}^{b}f(x)dx\)
\(=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\) [終]
解法のPoint｜定積分の性質を用いた計算
\(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
\(\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)dx\)
\(=\left[ F(x) \right]_{a}^{a}\)
\(=F(a)-F(a)=0\)
したがって、
\(\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)dx=0\) [終]
[証明] 性質５
\(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
\(\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)dx\)
\(=\left[ F(x) \right]_{b}^{a}\)
\(=F(a)-F(b)\)
\(=-\left(F(b)-F(a)\right)\)
\(=-\left[ F(x) \right]_{a}^{b}\)
\(=-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\)
したがって、
\(\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)dx=-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\) [終]
[証明] 性質６
\(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、
\(\displaystyle\int_{a}^{c}f(x)dx+\displaystyle\int_{c}^{b}f(x)dx\)
\(=\left[ F(x) \right]_{a}^{c}+\left[ F(x) \right]_{c}^{b}\)
\(=F(c)-F(a)+F(b)-F(c)\)
\(=F(b)-F(a)\)
\(=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\)
したがって、
\(\displaystyle\int_{a}^{c}f(x)dx+\displaystyle\int_{c}^{b}f(x)dx\)
\(=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\) [終]
解法のPoint｜定積分の性質を用いた計算
p.231 練習31\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\) \({\small (2)}~-1\) \({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜定積分の性質を用いた計算
解法のPoint｜定積分の性質を用いた計算
p.233 練習34\({\small (1)}~6\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,27\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜x軸より上側の範囲の囲まれた面積
解法のPoint｜x軸より上側の範囲の囲まれた面積
p.235 練習35\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\)
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p.238 深める\(~~~\displaystyle\int_{-2}^2|\,x-1\,|dx\) \(~~~~~~~~~\gt \left|\displaystyle\int_{-2}^2(x-1)dx\right|\gt \displaystyle\int_{-2}^2(x-1)dx\)
解法のPoint｜絶対値を含む定積分
解法のPoint｜絶対値を含む定積分
p.243 研究 練習4[証明] \(x-\beta\) の部分に \(x-\alpha\) をつくり、\(x-\alpha\) について展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-\alpha)^2(x-\beta)
\\[3pt]~~~&=&(x-\alpha)^2\{(x-\alpha)+(\alpha-\beta)\}
\\[3pt]~~~&=&(x-\alpha)^3+(\alpha-\beta)(x-\alpha)^2\end{eqnarray}\)
よって、
したがって、
\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4\)
[終]
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\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-\alpha)^2(x-\beta)
\\[3pt]~~~&=&(x-\alpha)^2\{(x-\alpha)+(\alpha-\beta)\}
\\[3pt]~~~&=&(x-\alpha)^3+(\alpha-\beta)(x-\alpha)^2\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\{(x-\alpha)^3+(\alpha-\beta)(x-\alpha)^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(x-\alpha)^4\,\right]_{\alpha}^{\beta}+(\alpha-\beta)\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(x-\alpha)^3\,\right]_{\alpha}^{\beta}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\beta-\alpha)^4+(\alpha-\beta) \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\beta-\alpha)^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\beta-\alpha)^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\beta-\alpha)^4
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)(\beta-\alpha)^4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-4\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\{(x-\alpha)^3+(\alpha-\beta)(x-\alpha)^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(x-\alpha)^4\,\right]_{\alpha}^{\beta}+(\alpha-\beta)\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(x-\alpha)^3\,\right]_{\alpha}^{\beta}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\beta-\alpha)^4+(\alpha-\beta) \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\beta-\alpha)^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\beta-\alpha)^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\beta-\alpha)^4
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)(\beta-\alpha)^4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-4\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4\)
[終]
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問題
p.244 問題 16\({\small (1)}~\) \(\displaystyle \frac{\,23\,}{\,6\,}\) \({\small (2)}~\) \(-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\)
\({\small (3)}~\) \(-\displaystyle \frac{\,65\,}{\,4\,}\) \({\small (4)}~\) \(-\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜関数xⁿの定積分の計算
\({\small (5)}~\) \(5\) \({\small (6)}~\) \(3\)
解法のPoint｜絶対値を含む定積分
\({\small (3)}~\) \(-\displaystyle \frac{\,65\,}{\,4\,}\) \({\small (4)}~\) \(-\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜関数xⁿの定積分の計算
\({\small (5)}~\) \(5\) \({\small (6)}~\) \(3\)
解法のPoint｜絶対値を含む定積分
p.244 問題 19\({\small (1)}~\) \(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\)
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\({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,71\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜2つの部分に分けられた面積
\({\small (3)}~\) \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜x軸より下側の範囲の囲まれた面積
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\({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,71\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜2つの部分に分けられた面積
\({\small (3)}~\) \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜x軸より下側の範囲の囲まれた面積
p.244 問題 20\({\small (1)}~\) \(y=-2x-1\) \({\small (2)}~\) \(y=4x-4\)
\({\small (3)}~\) \(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\)
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\({\small (3)}~\) \(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\)
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p.244 問題 22[証明] 放物線 \(y=x(x-1)\) と直線 \(y=(\sqrt[\large 3]{2}-1)x\) との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x(x-1)&=&(\sqrt[\large 3]{2}-1)x\\[3pt]~~~x^2-x&=&(\sqrt[\large 3]{2}-1)x\\[3pt]~~~x^2-x-(\sqrt[\large 3]{2}-1)x&=&0\\[3pt]~~~x^2-\sqrt[\large 3]{2}\,x&=&0\\[3pt]~~~x(x-\sqrt[\large 3]{2})&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~\sqrt[\large 3]{2}\end{eqnarray}\)
次に、放物線 \(y=x(x-1)\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x(x-1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~1\end{eqnarray}\)
区間 \([\,0~,~\sqrt[\large 3]{2}\,]\) では、直線 \(y=(\sqrt[\large 3]{2}-1)x\) が上側に、放物線 \(y=x(x-1)\) が下側であるので、囲まれた図形の面積 は、
次に、放物線 \(y=x(x-1)\) の \(x\) 軸より下側の部分の面積は、
区間 \([\,0~,~1\,]\) で放物線 \(y=x(x-1)\) は \(x\) 軸より下側であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle\int_0^1 x(x-1)\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(-x^2+x)\,dx\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^1\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
放物線 \(y=x(x-1)\) と直線 \(y=(\sqrt[\large 3]{2}-1)x\) で囲まれた図形の面積は、\(x\) 軸で2等分される [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~x(x-1)&=&(\sqrt[\large 3]{2}-1)x\\[3pt]~~~x^2-x&=&(\sqrt[\large 3]{2}-1)x\\[3pt]~~~x^2-x-(\sqrt[\large 3]{2}-1)x&=&0\\[3pt]~~~x^2-\sqrt[\large 3]{2}\,x&=&0\\[3pt]~~~x(x-\sqrt[\large 3]{2})&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~\sqrt[\large 3]{2}\end{eqnarray}\)
次に、放物線 \(y=x(x-1)\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x(x-1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~1\end{eqnarray}\)
区間 \([\,0~,~\sqrt[\large 3]{2}\,]\) では、直線 \(y=(\sqrt[\large 3]{2}-1)x\) が上側に、放物線 \(y=x(x-1)\) が下側であるので、囲まれた図形の面積 は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^{\sqrt[\large 3]{2}}\{(\sqrt[\large 3]{2}-1)x-x(x-1)\}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^{\sqrt[\large 3]{2}}\{(\sqrt[\large 3]{2}-1)x-x^2+x\}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^{\sqrt[\large 3]{2}}(-x^2+\sqrt[\large 3]{2}\,x)\,dx\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\sqrt[\large 3]{2} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^{\sqrt[\large 3]{2}}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\sqrt[\large 3]{2})^3+\displaystyle \frac{\,\sqrt[\large 3]{2}\,}{\,2\,}(\sqrt[\large 3]{2})^2\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt[\large 3]{2} \cdot \sqrt[\large 3]{4}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt[\large 3]{8}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
次に、放物線 \(y=x(x-1)\) の \(x\) 軸より下側の部分の面積は、
区間 \([\,0~,~1\,]\) で放物線 \(y=x(x-1)\) は \(x\) 軸より下側であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle\int_0^1 x(x-1)\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(-x^2+x)\,dx\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^1\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
放物線 \(y=x(x-1)\) と直線 \(y=(\sqrt[\large 3]{2}-1)x\) で囲まれた図形の面積は、\(x\) 軸で2等分される [終]
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演習問題 微分法と積分法
p.245 演習問題A 1\({\small (1)}~\) \(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\) で極小値 \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27\,}a^3\) 、
\(x=0\) で極大値 \(0\)
\({\small (2)}~\) 極値はない
\({\small (3)}~\) \(x=0\) で極小値 \(0\) 、
\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\) で極大値 \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27\,}a^3\)
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\(x=0\) で極大値 \(0\)
\({\small (2)}~\) 極値はない
\({\small (3)}~\) \(x=0\) で極小値 \(0\) 、
\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\) で極大値 \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27\,}a^3\)
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p.245 演習問題A 2半径 \(2\sqrt{2}\) 、高さ \(4\) 、体積 \(\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\pi\)
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p.245 演習問題A 3[証明] \(\displaystyle\int_0^1(px+q)^2\,dx\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1(px+q)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(p^2x^2+2pqx+q^2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,3\,}x^3+pqx^2+q^2x\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,3\,}+pq+q^2\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1(px+q)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,p\,}{\,2\,}x^2+qx\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,p\,}{\,2\,}+q\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left\{\displaystyle\int_0^1(px+q)\,dx\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,p\,}{\,2\,}+q\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,4\,}+pq+q^2\end{eqnarray}\)
以上より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1(px+q)^2\,dx-\left\{\displaystyle\int_0^1(px+q)\,dx\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,3\,}+pq+q^2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,4\,}+pq+q^2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,3\,}+pq+q^2-\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,4\,}-pq-q^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4p^2-3p^2\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,12\,}{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle\int_0^1(px+q)^2\,dx{\small ~≧~}\left\{\displaystyle\int_0^1(px+q)\,dx\right\}^2\) [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1(px+q)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(p^2x^2+2pqx+q^2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,3\,}x^3+pqx^2+q^2x\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,3\,}+pq+q^2\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1(px+q)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,p\,}{\,2\,}x^2+qx\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,p\,}{\,2\,}+q\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left\{\displaystyle\int_0^1(px+q)\,dx\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,p\,}{\,2\,}+q\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,4\,}+pq+q^2\end{eqnarray}\)
以上より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1(px+q)^2\,dx-\left\{\displaystyle\int_0^1(px+q)\,dx\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,3\,}+pq+q^2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,4\,}+pq+q^2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,3\,}+pq+q^2-\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,4\,}-pq-q^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4p^2-3p^2\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,12\,}{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle\int_0^1(px+q)^2\,dx{\small ~≧~}\left\{\displaystyle\int_0^1(px+q)\,dx\right\}^2\) [終]
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p.245 演習問題A 4[証明] \(f(x)=x^2+1\) とおき、微分すると、
\(f^{\prime}(x)=2x\)
\(x=a\) のとき接線の傾きは \(f^{\prime}(a)=2a\) となるので、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-(a^2+1)&=&2a(x-a)\\[3pt]~~~y&=&2ax-2a^2+a^2+1\\[3pt]~~~y&=&2ax-a^2+1\end{eqnarray}\)
この接線 \(y=2ax-a^2+1\) と放物線 \(y=x^2\) との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&2ax-a^2+1\\[3pt]~~~x^2-2ax+a^2-1&=&0\\[3pt]~~~x^2-2ax+(a+1)(a-1)&=&0\\[3pt]~~~\{x-(a-1)\}\{x-(a+1)\}&=&0\\[3pt]~~~x&=&a-1~,~a+1\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
これより、囲まれた図形の面積は、接線 \(y=2ax-a^2+1\) が上側で放物線 \(y=x^2\) が下側、区間が \([\,a-1~,~a+1\,]\) より、
\(x=a+1\) のとき、
\(x=a-1\) のとき、
よって、
したがって、面積は \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\) となり、\(a\) の値に関係なく一定である [終]
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\(f^{\prime}(x)=2x\)
\(x=a\) のとき接線の傾きは \(f^{\prime}(a)=2a\) となるので、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-(a^2+1)&=&2a(x-a)\\[3pt]~~~y&=&2ax-2a^2+a^2+1\\[3pt]~~~y&=&2ax-a^2+1\end{eqnarray}\)
この接線 \(y=2ax-a^2+1\) と放物線 \(y=x^2\) との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&2ax-a^2+1\\[3pt]~~~x^2-2ax+a^2-1&=&0\\[3pt]~~~x^2-2ax+(a+1)(a-1)&=&0\\[3pt]~~~\{x-(a-1)\}\{x-(a+1)\}&=&0\\[3pt]~~~x&=&a-1~,~a+1\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
これより、囲まれた図形の面積は、接線 \(y=2ax-a^2+1\) が上側で放物線 \(y=x^2\) が下側、区間が \([\,a-1~,~a+1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{a-1}^{a+1}\{(2ax-a^2+1)-x^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{a-1}^{a+1}(-x^2+2ax-a^2+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2a \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+(-a^2+1)x\,\right]_{a-1}^{a+1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+ax^2+(-a^2+1)x\,\right]_{a-1}^{a+1}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{a-1}^{a+1}(-x^2+2ax-a^2+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2a \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+(-a^2+1)x\,\right]_{a-1}^{a+1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+ax^2+(-a^2+1)x\,\right]_{a-1}^{a+1}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(x=a+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a+1)^3+a(a+1)^2+(-a^2+1)(a+1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a^3+3a^2+3a+1)+a(a^2+2a+1)+(-a^2+1)(a+1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a^2-a-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+a^3+2a^2+a-a^3-a^2+a+1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a^3+3a^2+3a+1)+a(a^2+2a+1)+(-a^2+1)(a+1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a^2-a-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+a^3+2a^2+a-a^3-a^2+a+1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(x=a-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a-1)^3+a(a-1)^2+(-a^2+1)(a-1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a^3-3a^2+3a-1)+a(a^2-2a+1)+(-a^2+1)(a-1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a^2-a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+a^3-2a^2+a-a^3+a^2-a+1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a^3-3a^2+3a-1)+a(a^2-2a+1)+(-a^2+1)(a-1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a^2-a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+a^3-2a^2+a-a^3+a^2-a+1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、面積は \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\) となり、\(a\) の値に関係なく一定である [終]
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p.245 演習問題B 5\(0 \lt a \lt 1~,~4 \lt a\) のとき、
\(x=a\) で最大値 \(a(a-3)^2\)
\(1{\small ~≦~}a \lt 4\) のとき、
\(x=1\) で最大値 \(4\)
\(a=4\) のとき、
\(x=1~,~4\) で最大値 \(4\)
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\(x=a\) で最大値 \(a(a-3)^2\)
\(1{\small ~≦~}a \lt 4\) のとき、
\(x=1\) で最大値 \(4\)
\(a=4\) のとき、
\(x=1~,~4\) で最大値 \(4\)
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p.245 演習問題B 7 \(f(x)=x^2-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
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