【新課程】数研出版：数学Ⅱ[709]

p.42 練習1\({\small (1)}~\)実部 \(-2\)、虚部 \(-3\)
\({\small (2)}~\)実部 \(-{\large \frac{2}{3}}\)、虚部 \({\large \frac{\sqrt{5}}{3}}\)
\({\small (3)}~\)実部 \(-4\)、虚部 \(0\)
\({\small (4)}~\)実部 \(0\)、虚部 \(5\)

p.43 練習2$${\small (1)}~x=-3~,~y=-3$$$${\small (2)}~x=2~,~y=-3$$→ 複素数の相等

p.43 練習3$${\small (1)}~10-i$$$${\small (2)}~2-3i$$$${\small (3)}~-3+i$$$${\small (4)}~12+5i$$

p.44 練習4$${\small (1)}~12+5i$$$${\small (2)}~-8-6i$$$${\small (3)}~25$$$${\small (4)}~-i$$→ 複素数の計算

p.44 練習5$${\small (1)}~3-2i$$$${\small (2)}~-4+5i$$$${\small (3)}~-\sqrt{3}i$$$${\small (4)}~-5$$→ 共役な複素数と式の値

p.45 練習6$${\small (1)}~1-2i$$$${\small (2)}~-{ \frac{\,1\,}{\,5\,}}+{ \frac{\,3\,}{\,5\,}}i$$$${\small (3)}~{ \frac{\,5\,}{\,13\,}}-{ \frac{\,12\,}{\,13\,}}i$$→ 分数と複素数

p.46 深める\({\small (1)}~\)成り立つ$${\small (2)}~\frac{\,1\,}{\,\sqrt{-3}\,}=-\sqrt{-\frac{\,1\,}{\,3\,}}$$

p.46 練習7$${\small (1)}~-12$$$${\small (2)}~-\sqrt{3}i$$$${\small (3)}~3$$$${\small (4)}~{ \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}}i$$→ 負の数の平方根

p.47 練習8$${\small (1)}~{ \frac{\,-1\pm\sqrt{3}i\,}{2}}$$$${\small (2)}~{ \frac{\,7\pm\sqrt{11}i\,}{6}}$$$${\small (3)}~{ \frac{\,3\pm\sqrt{5}i\,}{2}}$$$${\small (4)}~5\pm i$$→ ２次方程式の虚数解

p.49 練習9\({\small (1)}~\)異なる２つの実数解
\({\small (2)}~\)異なる２つの実数解
\({\small (3)}~\)異なる２つの虚数解
\({\small (4)}~\)重解

p.49 練習10\(-{\large \frac{\,1\,}{\,3\,}}<m<1\) のとき、
　　　異なる２つの実数解
\(m=1~,~-{\large \frac{\,1\,}{\,3\,}}\) のとき、重解
\(m<-{\large \frac{\,1\,}{\,3\,}}~,~1<m\) のとき、
　　　異なる２つの実数解
→ 複素数範囲での２次方程式の解の条件

p.50 練習11\({\small (1)}~\)和 \(-3\)、積 \(-5\)
\({\small (2)}~\)和 \({\large \frac{\,7\,}{\,3\,}}\)、積 \({\large \frac{\,4\,}{\,3\,}}\)
\({\small (3)}~\)和 \(0\)、積 \({\large \frac{\,2\,}{\,3\,}}\)

p.51 練習12$${\small (1)}~36$$$${\small (2)}~-11$$$${\small (3)}~13$$→ ２次方程式の解と係数の関係

p.51 練習13　\(m=1\)、解は \(-{\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}~,~-1\)

p.51 練習14\(m=4\)、解は \(-{\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}~,~{\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\)
　または
\(m=-4\)、解は \({\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}~,~-{\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\)
→ ２つの解の条件と解と係数の関係

p.52 練習15$${\small (1)}~(x+4-\sqrt{11})(x+4+\sqrt{11})$$$${\small (2)}~2\left(x-{ \frac{\,5+\sqrt{17}\,}{\,2\,}}\right)\left(x-{ \frac{\,5-\sqrt{17}\,}{\,2\,}}\right)$$$${\small (3)}~2\left(x+{ \frac{\,3-\sqrt{7}i\,}{\,4\,}}\right)\left(x+{ \frac{\,3+\sqrt{7}i\,}{\,4\,}}\right)$$→ 複素数範囲での因数分解

p.53 練習16$${\small (1)}~x^2-x-12=0$$$${\small (2)}~x^2-2x-1=0$$$${\small (3)}~x^2+4x+5=0$$→ 解が与えられた２次方程式

p.53 問1$$~~~1+\sqrt{2}i~,~1-\sqrt{2}i$$

p.53 練習17$${\small (1)}~{ \frac{\,1+\sqrt{3}i\,}{2}}~,~{ \frac{\,1-\sqrt{3}i\,}{2}}$$$${\small (2)}~{ \frac{\,-5+\sqrt{13}\,}{2}}~,~{ \frac{\,-5-\sqrt{13}\,}{2}}$$

p.54 練習18$${\small (1)}~x^2-x+8=0$$$${\small (2)}~2x^2+3x+5=0$$$${\small (3)}~4x^2+11x+25=0$$→ 解が与えられた２次方程式

p.55 練習19$${\small (1)}~-3<m<-2$$$${\small (2)}~m>6$$$${\small (3)}~m<-3$$→ ２次方程式の解の符号

p.55 深める\(D>0\) がないとき、
\(-2≦ m ≦ 0\) の範囲に解をもつので、
例えば、\(m=-1\) のとき、$$\begin{eqnarray}~~~x^2-2x+1&=&0\\[2pt]~~~(x-1)^2&=&0\\[2pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}$$これより、重解をもち異なる２つの正の解をもたない

p.56 練習20$${\small (1)}~2$$$${\small (2)}~-41$$

p.56 問2[証明] \(P(x)\) を \(ax+b\) で割ったときの商を \(Q(x)\)、余りを \(R\) とすると、
　\(P(x)=(ax+b)Q(x)+R\)
ここで、\(x=-{\large \frac{\,b\,}{\,a\,}}\) を代入すると、$$~~~~~~P\left(-{ \frac{\,b\,}{\,a\,}}\right)$$$$~=(-b+b)Q\left(-{\frac{\,b\,}{\,a\,}}\right)+R$$$$~=0+R=R$$したがって、整式 \(P(x)\) を１次式 \(ax+b\) で割った余りは、\(P\left(-{\large \frac{\,b\,}{\,a\,}}\right)\) に等しい [終]

p.56 練習21$${\small (1)}~-4$$$${\small (2)}~{ \frac{\,134\,}{\,27\,}}$$→ 剰余の定理

p.57 練習23$$~~~a=2$$

p.57 練習23$$~~~-3x-2$$→ 剰余の定理と余りの決定

p.58 練習24$${\small (1)}~(x-1)(x-2)(x+3)$$$${\small (2)}~(x+1)(2x-3)(x-3)$$$${\small (3)}~(x-2)(x+3)(x+4)$$$${\small (4)}~(x+2)(2x-1)(x-3)$$→ 因数定理を用いる因数分解

p.58 問3$$~~~a=3$$

p.58 練習25$$~~~a=-1~,~2$$

p.60 練習26$${\small (1)}~x=2~,~-1\pm\sqrt{3}i$$$${\small (2)}~x=-1~,~{ \frac{\,1\pm\sqrt{3}i\,}{2}}$$→ 高次方程式の解①（３次方程式）

p.60 問4\({\small (1)}~\)[証明] １の３乗根のうち虚数であるものを \(\omega={\large \frac{\,-1+\sqrt{3}i\,}{2}}\) とすると、$$~\omega^2=\frac{\,1-2\sqrt{3}i+3i^2\,}{4}=\frac{\,-1-\sqrt{3}i\,}{2}$$また、 \(\omega={\large \frac{\,-1-\sqrt{3}i\,}{2}}\) とすると、$$~\omega^2=\frac{\,1+2\sqrt{3}i+3i^2\,}{4}=\frac{\,-1+\sqrt{3}i\,}{2}$$したがって、１の３乗根は \(1~,~\omega~,~\omega^2\) となる [終]
 
\({\small (2)}~\)[証明]
　\(x^3-1=0\)
　　\(~\Leftrightarrow~(x-1)(x^2+x+1)=0\)
これより、\(\omega\) は方程式 \(x^2+x+1=0\) の解となるので、
　\(\omega^2+\omega+1=0\) [終]
 
\({\small (3)}~\)[証明]
\(\omega^3=1\) より、
　\(\omega^4=\omega^3\cdot\omega=1\cdot\omega=\omega\)
これより、
　\(\omega^4+\omega^2+1=\omega+\omega^2+1\)
(2) より、
　\(\omega+\omega^2+1=0\)
したがって、
　\(\omega^4+\omega^2+1=0\) [終]
→ １の３乗根

p.61 練習27$${\small (1)}~x=\pm\sqrt{5}~,~\pm\sqrt{2}i$$$${\small (2)}~x=\pm1~,~\pm i$$→ 高次方程式の解②（４次方程式）

p.61 練習28$${\small (1)}~x=1~,~{ \frac{\,-1\pm\sqrt{13}\,}{2}}$$$${\small (2)}~x=-2~,~{ \frac{\,2\pm\sqrt{2}\,}{2}}$$$${\small (3)}~x=-2~,~3$$$${\small (4)}~x=-1~,~-1\pm i$$→ 高次方程式の解①（３次方程式）

p.62 練習29$${\small (1)}~x=-1~,~2~,~\pm i$$$${\small (2)}~x=\pm1~,~1\pm\sqrt{2}i$$$${\small (3)}~x=1~,~-3$$→ 高次方程式の解②（４次方程式）

p.63 練習30$$~~~a=-7~,~b=-8$$　他の解 \(4\)

p.63 深める\(x^3+4x^2+ax+b\) を
\((x+3)(x-1)=x^2+2x-3\) で割ったとき、
　商 \(x+2\)、余り \((a-1)x+b+6\)
となる
余りが \(0\) となるので、
　\(a-1=0\) かつ \(b+6=0\)
したがって、
　\(a=1~,~b=-6\)

p.64 練習31$$~~~a=1~,~b=10$$　他の解 \(-2~,~1+2i\)
→ ３次方程式の虚数解

p.65 研究 練習1[証明] \(a~,~b~,~c~,~d\) を実数として、\(\alpha=a+bi~,~\beta=c+di\) とすると、$$~~~\alpha+\beta=(a+c)+(b+d)i$$よって、$$\begin{split}&\overline {\alpha+\beta}\\[2pt]~~=~&(a+c)-(b+d)i\\[2pt]~~=~&(a-bi)+(c-di)\\[2pt]~~=~&\overline {\alpha}+\overline {\beta}\end{split}$$[終]
 
[証明] \(a~,~b~,~c~,~d\) を実数として、\(\alpha=a+bi~,~\beta=c+di\) とすると、$$\begin{split}&\overline {\alpha\beta}\\[2pt]~~=~&\overline {(a+bi)(c+di)}\\[2pt]~~=~&(ac-bd)-(ad-bc)i\end{split}$$また、$$\begin{split}&\overline {\alpha}\overline {\beta}\\[2pt]~~=~&(a-bi)(c-di)\\[2pt]~~=~&(ac-bd)-(ad-bc)i\end{split}$$したがって、$$~~~\overline {\alpha\beta}=\overline {\alpha}\overline {\beta}$$[終]

p.65 研究 練習2\(x^3-3x^2+ax+b\) を \(x^2-2x+10\) で割ったとき、
　商 \(x-1\)、余り \((a-12)x+b+10\)
となる
余りが \(0\) となるので、
　\(a-12=0\) かつ \(b+10=0\)
したがって、
　\(a=12~,~b=-10\)

p.66 発展 練習1$${\small (1)}~9$$$${\small (2)}~-6$$

p.68 演習問題Ｂ 7\({\small (1)}~\)[証明] \(x=1+\sqrt{2}i\) より、
　\(x-1=\sqrt{2}i\)
両辺を２乗すると、$$\begin{eqnarray}~~~(x-1)^2&=&(\sqrt{2}i)^2\\[2pt]~~~x^2-2x+1&=&-2\end{eqnarray}$$移項すると、
　\(x^2-2x+3=0\)
[終]
$${\small (2)}~-27+2\sqrt{2}i$$