集合と論理の問題12〜19です。PDFを印刷して解くか、このページで問題を確認して解いてみましょう。解き終わったら、各問題の下の「詳しい解説はこちら→」から、解答と詳しい解説を確認できます。
目次
共通テスト数学ⅠA｜集合と論理
12｜集合と要素・共通部分と和集合・補集合
12
\( U=\{x\,|\,x \) は \(1\) 桁の自然数 \( \} \) を全体集合とし、その部分集合 \( A=\{2n\,|\,n=1~,~2~,~3~,~4\} \)、\( B=\{x\,|\,x \) は \(6\) の正の約数 \( \} \) について、次の集合を求めよ。ただし、要素は小さい順に並べるものとする。
\({\small (1)}~\)\( A=\{\,\fbox{ア}~,~\fbox{イ}~,~\fbox{ウ}~,~\fbox{エ}\,\} \)
\(\hspace{13pt}B=\{\,\fbox{オ}~,~\fbox{カ}~,~\fbox{キ}~,~\fbox{ク}\,\} \)
\({\small (2)}~\)\( \overline{A}\cap B=\{\,\fbox{ケ}~,~\fbox{コ}\,\} \)
\({\small (3)}~\)\(\overline{A}\cup\overline{B}\)
\(~=\{\,\fbox{サ}~,~\fbox{シ}~,~\fbox{ス}~,~\fbox{セ}~,~\fbox{ソ}~,~\fbox{タ}~,~\fbox{チ}\,\} \)
\({\small (4)}~\)\( \overline{A}\cap\overline{B}=\{\,\fbox{ツ}~,~\fbox{テ}~,~\fbox{ト}\,\} \)
問題12｜詳しい解説はこちら→
\( U=\{x\,|\,x \) は \(1\) 桁の自然数 \( \} \) を全体集合とし、その部分集合 \( A=\{2n\,|\,n=1~,~2~,~3~,~4\} \)、\( B=\{x\,|\,x \) は \(6\) の正の約数 \( \} \) について、次の集合を求めよ。ただし、要素は小さい順に並べるものとする。
\({\small (1)}~\)\( A=\{\,\fbox{ア}~,~\fbox{イ}~,~\fbox{ウ}~,~\fbox{エ}\,\} \)
\(\hspace{13pt}B=\{\,\fbox{オ}~,~\fbox{カ}~,~\fbox{キ}~,~\fbox{ク}\,\} \)
\({\small (2)}~\)\( \overline{A}\cap B=\{\,\fbox{ケ}~,~\fbox{コ}\,\} \)
\({\small (3)}~\)\(\overline{A}\cup\overline{B}\)
\(~=\{\,\fbox{サ}~,~\fbox{シ}~,~\fbox{ス}~,~\fbox{セ}~,~\fbox{ソ}~,~\fbox{タ}~,~\fbox{チ}\,\} \)
\({\small (4)}~\)\( \overline{A}\cap\overline{B}=\{\,\fbox{ツ}~,~\fbox{テ}~,~\fbox{ト}\,\} \)
共通テスト数学ⅠA｜集合と論理
13｜不等式と集合
13
実数全体を全体集合として、\(A=\{\,x\,|\,1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\,\}~,~\)\(B=\{\,x\,|\,x \lt 3\,\}\) のとき、次の集合を求めよ。ただし、二重枠の不等号は下の選択肢から選べ。
\({\small (1)}~\)\(A \cap B=\{\,x\,|\,\fbox{ア}~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}~x~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}~\fbox{エ}\,\}\)
\({\small (2)}~\)\(\overline{A} \cap \overline{B}=\{\,x\,|\,\fbox{オ}~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}~x\,\}\)
\({\small (3)}~\)\(\overline{A} \cup \overline{B}=\{\,x\,|\,x~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}~\fbox{ク}~,~\fbox{ケ}~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{コ}~x\,\}\)
選択肢：
⓪ \(\lt\) ① \({\small ~≦~}\) ② \(\gt\) ③ \({\small ~≧~}\)
問題13｜詳しい解説はこちら→
実数全体を全体集合として、\(A=\{\,x\,|\,1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\,\}~,~\)\(B=\{\,x\,|\,x \lt 3\,\}\) のとき、次の集合を求めよ。ただし、二重枠の不等号は下の選択肢から選べ。
\({\small (1)}~\)\(A \cap B=\{\,x\,|\,\fbox{ア}~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}~x~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}~\fbox{エ}\,\}\)
\({\small (2)}~\)\(\overline{A} \cap \overline{B}=\{\,x\,|\,\fbox{オ}~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}~x\,\}\)
\({\small (3)}~\)\(\overline{A} \cup \overline{B}=\{\,x\,|\,x~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}~\fbox{ク}~,~\fbox{ケ}~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{コ}~x\,\}\)
選択肢：
⓪ \(\lt\) ① \({\small ~≦~}\) ② \(\gt\) ③ \({\small ~≧~}\)
共通テスト数学ⅠA｜集合と論理
14｜部分集合と空集合
14
集合 \(A=\{\,1~,~2~,~3\,\}\) の部分集合について、次の問いに答えよ。ただし、\(\varnothing\) も \(A\) 自身も \(A\) の部分集合とする。
要素が \(0\) 個の部分集合は \(\fbox{ア}\) 個
要素が \(1\) 個の部分集合は \(\fbox{イ}\) 個
要素が \(2\) 個の部分集合は \(\fbox{ウ}\) 個
要素が \(3\) 個の部分集合は \(\fbox{エ}\) 個
よって、\(A\) の部分集合は全部で \(\fbox{オ}\) 個ある。
問題14｜詳しい解説はこちら→
集合 \(A=\{\,1~,~2~,~3\,\}\) の部分集合について、次の問いに答えよ。ただし、\(\varnothing\) も \(A\) 自身も \(A\) の部分集合とする。
要素が \(0\) 個の部分集合は \(\fbox{ア}\) 個
要素が \(1\) 個の部分集合は \(\fbox{イ}\) 個
要素が \(2\) 個の部分集合は \(\fbox{ウ}\) 個
要素が \(3\) 個の部分集合は \(\fbox{エ}\) 個
よって、\(A\) の部分集合は全部で \(\fbox{オ}\) 個ある。
共通テスト数学ⅠA｜集合と論理
15｜部分集合とド・モルガンの法則
15
全体集合を \(U\)、その部分集合を \(A~,~\)\(B\) とする。\(A \subset B\) であるとき、次の集合と等しくなるものを、下の⓪～⑤のうちからそれぞれ一つずつ選べ。
\({\small (1)}~\)\(A \cup B\) は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) \({\small (2)}~\)\(A \cap \overline{B}\) は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
\({\small (3)}~\)\(\overline{A} \cup B\) は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\) \({\small (4)}~\)\(\overline{A} \cup \overline{B}\) は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
選択肢：
⓪ \(A\) ① \(B\) ② \(U\)
③ \(\varnothing\) ④ \(\overline{A}\) ⑤ \(\overline{B}\)
問題15｜詳しい解説はこちら→
全体集合を \(U\)、その部分集合を \(A~,~\)\(B\) とする。\(A \subset B\) であるとき、次の集合と等しくなるものを、下の⓪～⑤のうちからそれぞれ一つずつ選べ。
\({\small (1)}~\)\(A \cup B\) は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) \({\small (2)}~\)\(A \cap \overline{B}\) は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
\({\small (3)}~\)\(\overline{A} \cup B\) は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\) \({\small (4)}~\)\(\overline{A} \cup \overline{B}\) は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
選択肢：
⓪ \(A\) ① \(B\) ② \(U\)
③ \(\varnothing\) ④ \(\overline{A}\) ⑤ \(\overline{B}\)
共通テスト数学ⅠA｜集合と論理
16｜命題の真偽
16
次の命題の真偽を調べよ。真偽は、下の選択肢から選べ。
選択肢：⓪ 真 ① 偽
\({\small (1)}~\)\(n\) を自然数として、
\(n\) は素数 \(\Rightarrow\) \(n\) は奇数 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)
\({\small (2)}~\)\(x\) を実数として、
\(x \gt 3\) \(\Rightarrow\) \(x \gt 0\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
\({\small (3)}~\)\(a~,~b\) を実数として、\(a~,~b\) がともに無理数なら \(a+b\) は無理数 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\)
\({\small (4)}~\)\(a~,~b\) を実数として、\(a\) が有理数かつ \(b\) が無理数なら \(ab\) は無理数 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
問題16｜詳しい解説はこちら→
次の命題の真偽を調べよ。真偽は、下の選択肢から選べ。
選択肢：⓪ 真 ① 偽
\({\small (1)}~\)\(n\) を自然数として、
\(n\) は素数 \(\Rightarrow\) \(n\) は奇数 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)
\({\small (2)}~\)\(x\) を実数として、
\(x \gt 3\) \(\Rightarrow\) \(x \gt 0\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
\({\small (3)}~\)\(a~,~b\) を実数として、\(a~,~b\) がともに無理数なら \(a+b\) は無理数 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\)
\({\small (4)}~\)\(a~,~b\) を実数として、\(a\) が有理数かつ \(b\) が無理数なら \(ab\) は無理数 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
共通テスト数学ⅠA｜集合と論理
17｜必要条件と十分条件
17
次の枠内に最も適する番号を入れよ。ただし、\(x~,~y\) は実数、\(m~,~n\) は自然数とする。
選択肢：
⓪ いずれでもない ① 必要条件
② 十分条件 ③ 必要十分条件
\({\small (1)}~\)\(x=3\) は \(x^2=9\) であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)
\({\small (2)}~\)\(2\) つの図形の面積が等しいことは、\(2\) つの図形が合同であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
\({\small (3)}~\)\(x^2=y^2\) は \(|\,x\,|=|\,y\,|\) であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\)
\({\small (4)}~\)\(x^2 \gt y^2\) は \(x \gt y\) であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
\({\small (5)}~\)\(mn\) が偶数であることは、\(m~,~n\) がともに偶数であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\)
問題17｜詳しい解説はこちら→
次の枠内に最も適する番号を入れよ。ただし、\(x~,~y\) は実数、\(m~,~n\) は自然数とする。
選択肢：
⓪ いずれでもない ① 必要条件
② 十分条件 ③ 必要十分条件
\({\small (1)}~\)\(x=3\) は \(x^2=9\) であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)
\({\small (2)}~\)\(2\) つの図形の面積が等しいことは、\(2\) つの図形が合同であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
\({\small (3)}~\)\(x^2=y^2\) は \(|\,x\,|=|\,y\,|\) であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\)
\({\small (4)}~\)\(x^2 \gt y^2\) は \(x \gt y\) であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
\({\small (5)}~\)\(mn\) が偶数であることは、\(m~,~n\) がともに偶数であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\)
共通テスト数学ⅠA｜集合と論理
18｜条件の否定
18
次の条件の否定として最も適するものを、下の⓪～⑨のうちからそれぞれ一つずつ選べ。ただし、\(x~,~y\) は実数とする。
\({\small (1)}~\)「\(x \gt 0\)」の否定は「 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) 」
\({\small (2)}~\)「\(x{\small ~≧~}0\) かつ \(y \gt 0\)」の
否定は「 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\) 」
\({\small (3)}~\)「\(x{\small ~≦~}0\) または \(y{\small ~≧~}0\)」の
否定は「 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\) 」
\({\small (4)}~\)「すべての実数 \(x\) について \(x \lt 0\)」の
否定は「 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク}\) 実数 \(x\) について \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ケ}\) 」
選択肢：
⓪ \(x \gt 0\) ① \(x{\small ~≧~}0\) ② \(x \lt 0\)
③ \(x{\small ~≦~}0\) ④ \(y \lt 0\) ⑤ \(y{\small ~≦~}0\)
⑥ かつ ⑦ または
⑧ すべての ⑨ ある
問題18｜詳しい解説はこちら→
次の条件の否定として最も適するものを、下の⓪～⑨のうちからそれぞれ一つずつ選べ。ただし、\(x~,~y\) は実数とする。
\({\small (1)}~\)「\(x \gt 0\)」の否定は「 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) 」
\({\small (2)}~\)「\(x{\small ~≧~}0\) かつ \(y \gt 0\)」の
否定は「 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\) 」
\({\small (3)}~\)「\(x{\small ~≦~}0\) または \(y{\small ~≧~}0\)」の
否定は「 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\) 」
\({\small (4)}~\)「すべての実数 \(x\) について \(x \lt 0\)」の
否定は「 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク}\) 実数 \(x\) について \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ケ}\) 」
選択肢：
⓪ \(x \gt 0\) ① \(x{\small ~≧~}0\) ② \(x \lt 0\)
③ \(x{\small ~≦~}0\) ④ \(y \lt 0\) ⑤ \(y{\small ~≦~}0\)
⑥ かつ ⑦ または
⑧ すべての ⑨ ある
共通テスト数学ⅠA｜集合と論理
19｜逆・裏・対偶
19
命題「\(a \gt 0\) かつ \(b \gt 0\) ならば \(a+b \gt 0\) である」の真偽は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) である。
この命題の逆は、
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\) ならば \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\) となり、真偽は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
この命題の裏は、
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\) ならば \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\) となり、真偽は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\)
この命題の対偶は、
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク}\) ならば \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ケ}\) となり、真偽は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{コ}\)
選択肢：
⓪ 真 ① 偽
② \(a+b \gt 0\) ③ \(a+b{\small ~≦~}0\)
④ \(a+b \lt 0\) ⑤ \(a+b{\small ~≧~}0\)
⑥ \(a \gt 0\) かつ \(b \gt 0\)
⑦ \(a{\small ~≦~}0\) または \(b{\small ~≦~}0\)
⑧ \(a \lt 0\) かつ \(b \lt 0\)
⑨ \(a{\small ~≧~}0\) または \(b{\small ~≧~}0\)
問題19｜詳しい解説はこちら→
命題「\(a \gt 0\) かつ \(b \gt 0\) ならば \(a+b \gt 0\) である」の真偽は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) である。
この命題の逆は、
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\) ならば \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\) となり、真偽は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
この命題の裏は、
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\) ならば \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\) となり、真偽は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\)
この命題の対偶は、
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク}\) ならば \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ケ}\) となり、真偽は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{コ}\)
選択肢：
⓪ 真 ① 偽
② \(a+b \gt 0\) ③ \(a+b{\small ~≦~}0\)
④ \(a+b \lt 0\) ⑤ \(a+b{\small ~≧~}0\)
⑥ \(a \gt 0\) かつ \(b \gt 0\)
⑦ \(a{\small ~≦~}0\) または \(b{\small ~≦~}0\)
⑧ \(a \lt 0\) かつ \(b \lt 0\)
⑨ \(a{\small ~≧~}0\) または \(b{\small ~≧~}0\)
共通テスト数学ⅠA｜集合と論理
