数学Ⅰ｜集合と論理｜問題一覧 ＞ 問題解説 17
17｜必要条件と十分条件
17
次の枠内に最も適する番号を入れよ。ただし、\(x~,~y\) は実数、\(m~,~n\) は自然数とする。
選択肢：
⓪ いずれでもない ① 必要条件
② 十分条件 ③ 必要十分条件
\({\small (1)}~\)\(x=3\) は \(x^2=9\) であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)
\({\small (2)}~\)\(2\) つの図形の面積が等しいことは、\(2\) つの図形が合同であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
\({\small (3)}~\)\(x^2=y^2\) は \(|\,x\,|=|\,y\,|\) であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\)
\({\small (4)}~\)\(x^2 \gt y^2\) は \(x \gt y\) であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
\({\small (5)}~\)\(mn\) が偶数であることは、\(m~,~n\) がともに偶数であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\)
次の枠内に最も適する番号を入れよ。ただし、\(x~,~y\) は実数、\(m~,~n\) は自然数とする。
選択肢：
⓪ いずれでもない ① 必要条件
② 十分条件 ③ 必要十分条件
\({\small (1)}~\)\(x=3\) は \(x^2=9\) であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)
\({\small (2)}~\)\(2\) つの図形の面積が等しいことは、\(2\) つの図形が合同であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
\({\small (3)}~\)\(x^2=y^2\) は \(|\,x\,|=|\,y\,|\) であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\)
\({\small (4)}~\)\(x^2 \gt y^2\) は \(x \gt y\) であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
\({\small (5)}~\)\(mn\) が偶数であることは、\(m~,~n\) がともに偶数であるための \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\)
共通テスト数学ⅠA｜集合と論理
17 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)② 十分条件（逆の反例：\(x=-3\)）
\({\small (2)}~\)① 必要条件（面積が等しくても合同とは限らない）
\({\small (3)}~\)③ 必要十分条件
\({\small (4)}~\)⓪ いずれでもない（反例：\(x=-2~,~y=1\) と \(x=1~,~y=-2\)）
\({\small (5)}~\)① 必要条件（\(m=2~,~n=3\) で \(mn=6\) は偶数だがともに偶数ではない）
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)「\(x=3\) は \(x^2=9\) であるための○○条件」
\(x\) を実数として、
\(p\)：\(x=3\) 、\(q\)：\(x^2=9\)とする
\(p \rightarrow q\) の真偽は、
\(x=3\) のとき \(x^2=3^2=9\) より、常に成立するので真
\(q \rightarrow p\) の真偽は、
\(x^2=9\) より \(x=\pm 3\) となり、
\(x=-3\) のとき \(x=3\) とならないので偽
これより、
\(p\)：\(x=3\) \(\Large ~\underset{×}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(x^2=9\)
したがって、十分条件である
\({\small (2)}~\)「\(2\) つの図形の面積が等しいことは、\(2\) つの図形が合同であるための○○条件」
\(p\)：\(2\) つの図形の面積が等しい
\(q\)：\(2\) つの図形が合同であるとする
\(p \rightarrow q\) の真偽は、
面積が等しくても合同でない図形は存在するので偽
\(q \rightarrow p\) の真偽は、
合同であれば面積は常に等しくなるので真
これより、
\(p\)：面積が等しい \(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：合同である
したがって、必要条件である
\({\small (3)}~\)「\(x^2=y^2\) は \(|\,x\,|=|\,y\,|\) であるための○○条件」
\(x~,~y\) を実数として、
\(p\)：\(x^2=y^2\) 、\(q\)：\(|\,x\,|=|\,y\,|\)とする
ここで、\(x^2=y^2\) を変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&y^2\\[3pt]~~~x^2-y^2&=&0\\[3pt]~~~(x+y)(x-y)&=&0\\[3pt]~~~x&=&\pm y\end{eqnarray}\)
また、\(|\,x\,|=|\,y\,|\) を変形すると \(x=\pm y\) となり、
\(p\) と \(q\) は同じ条件となる
\(p \rightarrow q\) の真偽は、常に成立するので真
\(q \rightarrow p\) の真偽は、常に成立するので真
これより、
\(p\)：\(x^2=y^2\) \(\Large ~\underset{○}{\overset{○}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(|\,x\,|=|\,y\,|\)
したがって、必要十分条件である
\({\small (4)}~\)「\(x^2 \gt y^2\) は \(x \gt y\) であるための○○条件」
\(x~,~y\) を実数として、
\(p\)：\(x^2 \gt y^2\) 、\(q\)：\(x \gt y\)とする
\(p \rightarrow q\) の真偽は、
\(x=-2~,~y=1\) のとき \(x^2=4 \gt 1=y^2\) だが \(x \lt y\) となるので偽
\(q \rightarrow p\) の真偽は、
\(x=1~,~y=-2\) のとき \(x \gt y\) だが \(x^2=1 \lt 4=y^2\) となるので偽
これより、
\(p\)：\(x^2 \gt y^2\) \(\Large ~\underset{×}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：\(x \gt y\)
したがって、必要条件でも十分条件でもない
\({\small (5)}~\)「\(mn\) が偶数であることは \(m~,~n\) がともに偶数であるための○○条件」
\(m~,~n\) を自然数として、
\(p\)：\(mn\) が偶数、\(q\)：\(m~,~n\) がともに偶数とする
\(p \rightarrow q\) の真偽は、
\(m=2~,~n=3\) のとき \(mn=6\) で偶数だが \(n\) は奇数となるので偽
\(q \rightarrow p\) の真偽は、
偶数と偶数の積は常に偶数となるので真
これより、
\(p\)：\(mn\) が偶数 \(\Large ~\underset{○}{\overset{×}{\rightleftarrows}}~\) \(q\)：ともに偶数
したがって、必要条件である
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