数学Ⅰ｜集合と論理｜問題一覧 ＞ 問題解説 15
15｜部分集合とド・モルガンの法則
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全体集合を \(U\)、その部分集合を \(A~,~\)\(B\) とする。\(A \subset B\) であるとき、次の集合と等しくなるものを、下の⓪～⑤のうちからそれぞれ一つずつ選べ。
\({\small (1)}~\)\(A \cup B\) は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) \({\small (2)}~\)\(A \cap \overline{B}\) は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
\({\small (3)}~\)\(\overline{A} \cup B\) は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\) \({\small (4)}~\)\(\overline{A} \cup \overline{B}\) は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
選択肢：
⓪ \(A\) ① \(B\) ② \(U\)
③ \(\varnothing\) ④ \(\overline{A}\) ⑤ \(\overline{B}\)
全体集合を \(U\)、その部分集合を \(A~,~\)\(B\) とする。\(A \subset B\) であるとき、次の集合と等しくなるものを、下の⓪～⑤のうちからそれぞれ一つずつ選べ。
\({\small (1)}~\)\(A \cup B\) は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) \({\small (2)}~\)\(A \cap \overline{B}\) は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
\({\small (3)}~\)\(\overline{A} \cup B\) は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\) \({\small (4)}~\)\(\overline{A} \cup \overline{B}\) は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
選択肢：
⓪ \(A\) ① \(B\) ② \(U\)
③ \(\varnothing\) ④ \(\overline{A}\) ⑤ \(\overline{B}\)
共通テスト数学ⅠA｜集合と論理
15 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\(A \cup B=B\) ①
\({\small (2)}~\)\(A \cap \overline{B}=\varnothing\) ③
\({\small (3)}~\)\(\overline{A} \cup B=U\) ②
\({\small (4)}~\)\(\overline{A} \cup \overline{B}=\overline{A}\) ④
【より詳しい解説】
\(A \subset B\) より、集合 \(A\) は集合 \(B\) の部分集合であるので、
\({\small (1)}~\)和集合 \(A \cup B\) は、
これより、集合 \(B\) と等しい
\({\small (2)}~\)共通部分 \(A \cap \overline{B}\) は、
共通部分がないので、空集合 \(\varnothing\) と等しい
\({\small (3)}~\)和集合 \(\overline{A} \cup B\) は、
これより、全体集合 \(U\) と等しい
\({\small (4)}~\)和集合 \(\overline{A} \cup \overline{B}\) は、
ド・モルガンの法則より、
\(\overline{A} \cup \overline{B}=\overline{A\cap B}\)
これより、集合 \(A\) の補集合 \(\overline{A}\) と等しい
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