数学Ⅰ｜集合と論理｜問題一覧 ＞ 問題解説 18
18｜条件の否定
18
次の条件の否定として最も適するものを、下の⓪～⑨のうちからそれぞれ一つずつ選べ。ただし、\(x~,~y\) は実数とする。
\({\small (1)}~\)「\(x \gt 0\)」の否定は「 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) 」
\({\small (2)}~\)「\(x{\small ~≧~}0\) かつ \(y \gt 0\)」の
否定は「 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\) 」
\({\small (3)}~\)「\(x{\small ~≦~}0\) または \(y{\small ~≧~}0\)」の
否定は「 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\) 」
\({\small (4)}~\)「すべての実数 \(x\) について \(x \lt 0\)」の
否定は「 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク}\) 実数 \(x\) について \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ケ}\) 」
選択肢：
⓪ \(x \gt 0\) ① \(x{\small ~≧~}0\) ② \(x \lt 0\)
③ \(x{\small ~≦~}0\) ④ \(y \lt 0\) ⑤ \(y{\small ~≦~}0\)
⑥ かつ ⑦ または
⑧ すべての ⑨ ある
次の条件の否定として最も適するものを、下の⓪～⑨のうちからそれぞれ一つずつ選べ。ただし、\(x~,~y\) は実数とする。
\({\small (1)}~\)「\(x \gt 0\)」の否定は「 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) 」
\({\small (2)}~\)「\(x{\small ~≧~}0\) かつ \(y \gt 0\)」の
否定は「 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\) 」
\({\small (3)}~\)「\(x{\small ~≦~}0\) または \(y{\small ~≧~}0\)」の
否定は「 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\) 」
\({\small (4)}~\)「すべての実数 \(x\) について \(x \lt 0\)」の
否定は「 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク}\) 実数 \(x\) について \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ケ}\) 」
選択肢：
⓪ \(x \gt 0\) ① \(x{\small ~≧~}0\) ② \(x \lt 0\)
③ \(x{\small ~≦~}0\) ④ \(y \lt 0\) ⑤ \(y{\small ~≦~}0\)
⑥ かつ ⑦ または
⑧ すべての ⑨ ある
共通テスト数学ⅠA｜集合と論理
18 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)ア ③ \(x{\small ~≦~}0\)
\({\small (2)}~\)イ ② ウ ⑦ エ ⑤
\(\hspace{13pt}x \lt 0\) または \(y{\small ~≦~}0\)
\({\small (3)}~\)オ ⓪ カ ⑥ キ ④
\(\hspace{13pt}x \gt 0\) かつ \(y \lt 0\)
\({\small (4)}~\)ク ⑨ ケ ①
\(\hspace{13pt}\)ある実数 \(x\) について \(x{\small ~≧~}0\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)「\(x \gt 0\)」の否定は、「\(x{\small ~≦~}0\)」
※ \(x=0\) を含む。
\({\small (2)}~\)「\(x{\small ~≧~}0\) かつ \(y \gt 0\)」の否定は、
\(x{\small ~≧~}0\) → \(x \lt 0\)
かつ → または
\(y \gt 0\) → \(y{\small ~≦~}0\)
したがって、「\(x \lt 0\) または \(y{\small ~≦~}0\)」となる
\({\small (3)}~\)「\(x{\small ~≦~}0\) または \(y{\small ~≧~}0\)」の否定は、
\(x{\small ~≦~}0\) → \(x \gt 0\)
または → かつ
\(y{\small ~≧~}0\) → \(y \lt 0\)
したがって、「\(x \gt 0\) かつ \(y \lt 0\)」となる
\({\small (4)}~\)「すべての実数 \(x\) について \(x \lt 0\)」の否定
すべての実数 \(x\) → ある実数 \(x\)
\(x \lt 0\) → \(x{\small ~≧~}0\)
よって、
「ある実数 \(x\) について \(x{\small ~≧~}0\)」
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