数学Ⅰ｜集合と論理｜問題一覧 ＞ 問題解説 19
19｜逆・裏・対偶
19
命題「\(a \gt 0\) かつ \(b \gt 0\) ならば \(a+b \gt 0\) である」の真偽は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) である。
この命題の逆は、
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\) ならば \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\) となり、真偽は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
この命題の裏は、
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\) ならば \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\) となり、真偽は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\)
この命題の対偶は、
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク}\) ならば \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ケ}\) となり、真偽は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{コ}\)
選択肢：
⓪ 真 ① 偽
② \(a+b \gt 0\) ③ \(a+b{\small ~≦~}0\)
④ \(a+b \lt 0\) ⑤ \(a+b{\small ~≧~}0\)
⑥ \(a \gt 0\) かつ \(b \gt 0\)
⑦ \(a{\small ~≦~}0\) または \(b{\small ~≦~}0\)
⑧ \(a \lt 0\) かつ \(b \lt 0\)
⑨ \(a{\small ~≧~}0\) または \(b{\small ~≧~}0\)
命題「\(a \gt 0\) かつ \(b \gt 0\) ならば \(a+b \gt 0\) である」の真偽は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) である。
この命題の逆は、
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\) ならば \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\) となり、真偽は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
この命題の裏は、
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\) ならば \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\) となり、真偽は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\)
この命題の対偶は、
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク}\) ならば \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ケ}\) となり、真偽は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{コ}\)
選択肢：
⓪ 真 ① 偽
② \(a+b \gt 0\) ③ \(a+b{\small ~≦~}0\)
④ \(a+b \lt 0\) ⑤ \(a+b{\small ~≧~}0\)
⑥ \(a \gt 0\) かつ \(b \gt 0\)
⑦ \(a{\small ~≦~}0\) または \(b{\small ~≦~}0\)
⑧ \(a \lt 0\) かつ \(b \lt 0\)
⑨ \(a{\small ~≧~}0\) または \(b{\small ~≧~}0\)
共通テスト数学ⅠA｜集合と論理
19 数学ⅠA【解答】
ア ⓪（真）
イ ② ウ ⑥ エ ①（偽）
逆：\(a+b \gt 0\) ならば \(a \gt 0\) かつ \(b \gt 0\)
（偽、反例：\(a=3~,~b=-1\)）
オ ⑦ カ ③ キ ①（偽）
裏：\(a{\small ~≦~}0\) または \(b{\small ~≦~}0\) ならば \(a+b{\small ~≦~}0\)
（偽、反例：\(a=3~,~b=-1\)）
ク ③ ケ ⑦ コ ⓪（真）
対偶：\(a+b{\small ~≦~}0\) ならば \(a{\small ~≦~}0\) または \(b{\small ~≦~}0\)
（真）
【より詳しい解説】
命題「\(a \gt 0\) かつ \(b \gt 0\) ならば \(a+b \gt 0\) である」は、
\(a \gt 0\) かつ \(b \gt 0\) のとき、常に \(a+b \gt 0\) であるので真である
この命題の逆は「\(a+b \gt 0\) ならば \(a \gt 0\) かつ \(b \gt 0\) である」であり、
\(a=3~,~b=-1\) のとき成り立たないので偽である
この命題の裏は「\(a{\small ~≦~}0\) または \(b{\small ~≦~}0\) ならば \(a+b{\small ~≦~}0\)」であり、
この命題の逆が偽であるので裏も偽である
対偶は「\(a+b{\small ~≦~}0\) ならば \(a{\small ~≦~}0\) または \(b{\small ~≦~}0\)」であり、
もとの命題が真であるので、対偶も真である
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