数学Ⅰ｜集合と論理｜問題一覧 ＞ 問題解説 14
14｜部分集合と空集合
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集合 \(A=\{\,1~,~2~,~3\,\}\) の部分集合について、次の問いに答えよ。ただし、\(\varnothing\) も \(A\) 自身も \(A\) の部分集合とする。
要素が \(0\) 個の部分集合は \(\fbox{ア}\) 個
要素が \(1\) 個の部分集合は \(\fbox{イ}\) 個
要素が \(2\) 個の部分集合は \(\fbox{ウ}\) 個
要素が \(3\) 個の部分集合は \(\fbox{エ}\) 個
よって、\(A\) の部分集合は全部で \(\fbox{オ}\) 個ある。
集合 \(A=\{\,1~,~2~,~3\,\}\) の部分集合について、次の問いに答えよ。ただし、\(\varnothing\) も \(A\) 自身も \(A\) の部分集合とする。
要素が \(0\) 個の部分集合は \(\fbox{ア}\) 個
要素が \(1\) 個の部分集合は \(\fbox{イ}\) 個
要素が \(2\) 個の部分集合は \(\fbox{ウ}\) 個
要素が \(3\) 個の部分集合は \(\fbox{エ}\) 個
よって、\(A\) の部分集合は全部で \(\fbox{オ}\) 個ある。
共通テスト数学ⅠA｜集合と論理
14 数学ⅠA【解答】
要素が \(0\) 個の部分集合は \(\varnothing\) の \(1\) 個
要素が \(1\) 個の部分集合は \(\{\,1\,\}~,~\{\,2\,\}~,~\{\,3\,\}\) の \(3\) 個
要素が \(2\) 個の部分集合は \(\{\,1~,~2\,\}~,~\{\,2~,~3\,\}~,~\{\,1~,~3\,\}\) の \(3\) 個
要素が \(3\) 個の部分集合は \(\{\,1~,~2~,~3\,\}\) の \(1\) 個
よって、\(A\) の部分集合は全部で \(1+3+3+1=8\) 個ある。
【より詳しい解説】
集合 \(A=\{\,1~,~2~,~3\,\}\) について、部分集合の要素に含まれるかの組合せを調べると、
\(\begin{array}{c|ccc}
A & 1 & 2 & 3 \\[3pt]
\hline
~{\small [\,1\,]}~ & × & × & × \\[3pt]
\hline
& ○ & × & × \\[3pt]
~{\small [\,2\,]}~ & × & ○ & × \\[3pt]
& × & × & ○ \\[3pt]
\hline
& ○ & ○ & × \\[3pt]
~{\small [\,3\,]}~ & × & ○ & ○ \\[3pt]
& ○ & × & ○ \\[3pt]
\hline
~{\small [\,4\,]}~ & ○ & ○ & ○
\end{array}\)
\({\small [\,1\,]}\) どの要素も含まない場合
空集合も部分集合になるので \(\varnothing\)
\({\small [\,2\,]}\) 要素を \(1\) つだけ含む場合
\(\{\,1\,\}~,~\{\,2\,\}~,~\{\,3\,\}\)
\({\small [\,3\,]}\) 要素を \(2\) つ含む場合
\(\{\,1~,~2\,\}~,~\{\,2~,~3\,\}~,~\{\,1~,~3\,\}\)
\({\small [\,4\,]}\) すべての要素を含む場合
\(\{\,1~,~2~,~3\,\}\)
よって、部分集合は、
\(\varnothing~,~\{\,1\,\}~,~\{\,2\,\}~,~\{\,3\,\}~,~\)
\(\{\,1~,~2\,\}~,~\{\,2~,~3\,\}~,~\{\,1~,~3\,\}~,~\{\,1~,~2~,~3\,\}\)
したがって、
\(1+3+3+1=8\) 個
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