数学Ⅰ｜集合と論理｜問題一覧 ＞ 問題解説 13
13｜不等式と集合
13
実数全体を全体集合として、\(A=\{\,x\,|\,1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\,\}~,~\)\(B=\{\,x\,|\,x \lt 3\,\}\) のとき、次の集合を求めよ。ただし、二重枠の不等号は下の選択肢から選べ。
\({\small (1)}~\)\(A \cap B=\{\,x\,|\,\fbox{ア}~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}~x~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}~\fbox{エ}\,\}\)
\({\small (2)}~\)\(\overline{A} \cap \overline{B}=\{\,x\,|\,\fbox{オ}~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}~x\,\}\)
\({\small (3)}~\)\(\overline{A} \cup \overline{B}=\{\,x\,|\,x~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}~\fbox{ク}~,~\fbox{ケ}~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{コ}~x\,\}\)
選択肢：
⓪ \(\lt\) ① \({\small ~≦~}\) ② \(\gt\) ③ \({\small ~≧~}\)
実数全体を全体集合として、\(A=\{\,x\,|\,1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\,\}~,~\)\(B=\{\,x\,|\,x \lt 3\,\}\) のとき、次の集合を求めよ。ただし、二重枠の不等号は下の選択肢から選べ。
\({\small (1)}~\)\(A \cap B=\{\,x\,|\,\fbox{ア}~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}~x~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}~\fbox{エ}\,\}\)
\({\small (2)}~\)\(\overline{A} \cap \overline{B}=\{\,x\,|\,\fbox{オ}~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}~x\,\}\)
\({\small (3)}~\)\(\overline{A} \cup \overline{B}=\{\,x\,|\,x~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}~\fbox{ク}~,~\fbox{ケ}~\bbox[2pt, border: 3px double #333]{コ}~x\,\}\)
選択肢：
⓪ \(\lt\) ① \({\small ~≦~}\) ② \(\gt\) ③ \({\small ~≧~}\)
共通テスト数学ⅠA｜集合と論理
13 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\(A \cap B=\{\,x\,|\,1{\small ~≦~}x \lt 3\,\}\)
\(\hspace{13pt}\)イ ① ウ ⓪
\({\small (2)}~\)\(\overline{A} \cap \overline{B}=\{\,x\,|\,5 \lt x\,\}\)
\(\hspace{13pt}\)カ ⓪
\({\small (3)}~\)\(\overline{A} \cup \overline{B}=\{\,x\,|\,x \lt 1~,~3{\small ~≦~}x\,\}\)
\(\hspace{13pt}\)キ ⓪ コ ①
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(A \cap B\) は共通部分より、
\(A \cap B=\{\,x\,|\,1{\small ~≦~}x \lt 3\,\}\)
※ \(1\) は \(A~,~\)\(B\) のどちらにも含まれるので含み、\(3\) は \(B\) に含まれないので含まない。
\({\small (2)}~\)\(A \cup B\) は和集合より、
\(A \cup B=\{\,x\,|\,x{\small ~≦~}5\,\}\)
\(\overline{A} \cap \overline{B}\) はド・モルガンの法則より、
\(\overline{A} \cap \overline{B}=\overline{A \cup B}\)
\(A \cup B=\{\,x\,|\,x{\small ~≦~}5\,\}\) より、
\(\overline{A \cup B}=\{\,x\,|\,5 \lt x\,\}\)
※ \(5\) は \(A \cup B\) に含まれるので、補集合には含まない。
したがって、
\(\overline{A} \cap \overline{B}=\{\,x\,|\,5 \lt x\,\}\)
\({\small (3)}~\)\(\overline{A} \cup \overline{B}\) はド・モルガンの法則より、
\(\overline{A} \cup \overline{B}=\overline{A \cap B}\)
\({\small (1)}~\)より \(A \cap B=\{\,x\,|\,1{\small ~≦~}x \lt 3\,\}\) なので、
\(\overline{A \cap B}=\{\,x\,|\,x \lt 1~,~3{\small ~≦~}x\,\}\)
※ \(1\) は \(A \cap B\) に含まれるので補集合には含まず、\(3\) は \(A \cap B\) に含まれないので補集合に含む。
したがって、
\(\overline{A} \cup \overline{B}=\{\,x\,|\,x \lt 1~,~3{\small ~≦~}x\,\}\)
集合と論理｜問題一覧はこちら→
