数学Ⅰ｜集合と論理｜問題一覧 ＞ 問題解説 12
12｜集合と要素・共通部分と和集合・補集合
12
\( U=\{x\,|\,x \) は \(1\) 桁の自然数 \( \} \) を全体集合とし、その部分集合 \( A=\{2n\,|\,n=1~,~2~,~3~,~4\} \)、\( B=\{x\,|\,x \) は \(6\) の正の約数 \( \} \) について、次の集合を求めよ。ただし、要素は小さい順に並べるものとする。
\({\small (1)}~\)\( A=\{\,\fbox{ア}~,~\fbox{イ}~,~\fbox{ウ}~,~\fbox{エ}\,\} \)
\(\hspace{13pt}B=\{\,\fbox{オ}~,~\fbox{カ}~,~\fbox{キ}~,~\fbox{ク}\,\} \)
\({\small (2)}~\)\( \overline{A}\cap B=\{\,\fbox{ケ}~,~\fbox{コ}\,\} \)
\({\small (3)}~\)\(\overline{A}\cup\overline{B}\)
\(~=\{\,\fbox{サ}~,~\fbox{シ}~,~\fbox{ス}~,~\fbox{セ}~,~\fbox{ソ}~,~\fbox{タ}~,~\fbox{チ}\,\} \)
\({\small (4)}~\)\( \overline{A}\cap\overline{B}=\{\,\fbox{ツ}~,~\fbox{テ}~,~\fbox{ト}\,\} \)
\( U=\{x\,|\,x \) は \(1\) 桁の自然数 \( \} \) を全体集合とし、その部分集合 \( A=\{2n\,|\,n=1~,~2~,~3~,~4\} \)、\( B=\{x\,|\,x \) は \(6\) の正の約数 \( \} \) について、次の集合を求めよ。ただし、要素は小さい順に並べるものとする。
\({\small (1)}~\)\( A=\{\,\fbox{ア}~,~\fbox{イ}~,~\fbox{ウ}~,~\fbox{エ}\,\} \)
\(\hspace{13pt}B=\{\,\fbox{オ}~,~\fbox{カ}~,~\fbox{キ}~,~\fbox{ク}\,\} \)
\({\small (2)}~\)\( \overline{A}\cap B=\{\,\fbox{ケ}~,~\fbox{コ}\,\} \)
\({\small (3)}~\)\(\overline{A}\cup\overline{B}\)
\(~=\{\,\fbox{サ}~,~\fbox{シ}~,~\fbox{ス}~,~\fbox{セ}~,~\fbox{ソ}~,~\fbox{タ}~,~\fbox{チ}\,\} \)
\({\small (4)}~\)\( \overline{A}\cap\overline{B}=\{\,\fbox{ツ}~,~\fbox{テ}~,~\fbox{ト}\,\} \)
共通テスト数学ⅠA｜集合と論理
12 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)\( A=\{\,2~,~4~,~6~,~8\,\} \)
\(\hspace{13pt}B=\{\,1~,~2~,~3~,~6\,\} \)
\({\small (2)}~\)\( \overline{A}\cap B=\{\,1~,~3\,\} \)
\({\small (3)}~\)\( \overline{A}\cup\overline{B}=\{\,1~,~3~,~4~,~5~,~7~,~8~,~9\,\} \)
\({\small (4)}~\)\( \overline{A}\cap\overline{B}=\{\,5~,~7~,~9\,\} \)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)全体集合 \(U\) は、
\(U=\{\,1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9\,\}\)
部分集合 \( A=\{2n\,|\,n=1~,~2~,~3~,~4\} \) は、
\(A=\{\,2~,~4~,~6~,~8\,\}\)
部分集合 \( B=\{x\,|\,x \) は \(6\) の正の約数 \( \} \)
\(B=\{\,1~,~2~,~3~,~6\,\}\)
これより、全体集合 \(U\) の中に集合 \(A~,~\)\(B\) の要素は、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
~U~ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
A & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & ○ & & & ○ & & &
\end{array}\)
また、\(A\) の補集合 \(\overline{A}\) は、\(A\) に属さない集合であるので、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
A & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & \\[3pt]
\hline
~\overline{A}~ & ● & & ● & & ● & & ● & & ●
\end{array}\)
これより、
\(\overline{A}=\{\,1~,~3~,~5~,~7~,~9\,\}\)
\(B\) の補集合 \(\overline{B}\) は、\(B\) に属さない集合であるので、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & ○ & & & ○ & & & \\[3pt]
\hline
~\overline{B}~ & & & & ● & ● & & ● & ● & ●
\end{array}\)
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & ○ & & & ○ & & & \\[3pt]
\hline
~\overline{B}~ & & & & ● & ● & & ● & ● & ●
\end{array}\)
これより、
\(\overline{B}=\{\,4~,~5~,~7~,~8~,~9\,\}\)
\({\small (2)}~\)共通部分 \(\overline{A} \cap B\) は、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
\overline{A} & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & ○ & & & ○ & & & \\[3pt]
\hline
~\overline{A} \cap B~ & ◎ & & ◎ & & & & & &
\end{array}\)
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
\overline{A} & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
B & ○ & ○ & ○ & & & ○ & & & \\[3pt]
\hline
~\overline{A} \cap B~ & ◎ & & ◎ & & & & & &
\end{array}\)
これより、
\(\overline{A} \cap B=\{\,1~,~3\,\}\)
\({\small (3)}~\)ド・モルガンの法則より、
\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
ここで、\(\overline{A}\) と \(\overline{B}\) の和集合 \(\overline{A} \cup \overline{B}\) は、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
\overline{A} & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
\overline{B} & & & & ○ & ○ & & ○ & ○ & ○ \\[3pt]
\hline
~\overline{A} \cup \overline{B}~ & ● & & ● & ● & ● & & ● & ● & ●
\end{array}\)
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
\overline{A} & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
\overline{B} & & & & ○ & ○ & & ○ & ○ & ○ \\[3pt]
\hline
~\overline{A} \cup \overline{B}~ & ● & & ● & ● & ● & & ● & ● & ●
\end{array}\)
したがって、
\(\overline{A} \cup \overline{B}=\{\,1~,~3~,~4~,~5~,~7~,~8~,~9\,\}\)
\({\small (4)}~\)ド・モルガンの法則より、
\(\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\)
ここで、\(\overline{A}\) と \(\overline{B}\) の共通部分 \(\overline{A} \cap \overline{B}\) は、
\(\begin{array}{c|ccccccccc}
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
\overline{A} & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
\overline{B} & & & & ○ & ○ & & ○ & ○ & ○ \\[3pt]
\hline
~\overline{A} \cap \overline{B}~ & & & & & ◎ & & ◎ & & ◎
\end{array}\)
U & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[3pt]
\hline
\overline{A} & ○ & & ○ & & ○ & & ○ & & ○ \\[3pt]
\hline
\overline{B} & & & & ○ & ○ & & ○ & ○ & ○ \\[3pt]
\hline
~\overline{A} \cap \overline{B}~ & & & & & ◎ & & ◎ & & ◎
\end{array}\)
したがって、
\(\overline{A} \cap \overline{B}=\{\,5~,~7~,~9\,\}\)
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