数学Ⅰ｜集合と論理｜問題一覧 ＞ 問題解説 16
16｜命題の真偽
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次の命題の真偽を調べよ。真偽は、下の選択肢から選べ。
選択肢：⓪ 真 ① 偽
\({\small (1)}~\)\(n\) を自然数として、
\(n\) は素数 \(\Rightarrow\) \(n\) は奇数 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)
\({\small (2)}~\)\(x\) を実数として、
\(x \gt 3\) \(\Rightarrow\) \(x \gt 0\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
\({\small (3)}~\)\(a~,~b\) を実数として、\(a~,~b\) がともに無理数なら \(a+b\) は無理数 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\)
\({\small (4)}~\)\(a~,~b\) を実数として、\(a\) が有理数かつ \(b\) が無理数なら \(ab\) は無理数 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
次の命題の真偽を調べよ。真偽は、下の選択肢から選べ。
選択肢：⓪ 真 ① 偽
\({\small (1)}~\)\(n\) を自然数として、
\(n\) は素数 \(\Rightarrow\) \(n\) は奇数 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)
\({\small (2)}~\)\(x\) を実数として、
\(x \gt 3\) \(\Rightarrow\) \(x \gt 0\) \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
\({\small (3)}~\)\(a~,~b\) を実数として、\(a~,~b\) がともに無理数なら \(a+b\) は無理数 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\)
\({\small (4)}~\)\(a~,~b\) を実数として、\(a\) が有理数かつ \(b\) が無理数なら \(ab\) は無理数 \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
共通テスト数学ⅠA｜集合と論理
16 数学ⅠA【解答】
\({\small (1)}~\)① 偽（反例：\(n=2\)）
\({\small (2)}~\)⓪ 真
\({\small (3)}~\)① 偽（反例：\(a=\sqrt{2}~,~b=-\sqrt{2}\)）など
\({\small (4)}~\)① 偽（反例：\(a=0~,~b=\sqrt{2}\)）など
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)「\(n\) を自然数として、\(n\) は素数 \(\Rightarrow\) \(n\) は奇数」
素数の集合を \(P\) 、奇数の集合を \(Q\) とすると、
\(P=\{\,2~,~3~,~5~,~7~,~\cdots\,\}\)
\(Q=\{\,1~,~3~,~5~,~7~,~\cdots\,\}\)
これより、\(P\) は \(Q\) の部分集合ではないので偽となる
また、反例は \(n=2\) のとき（偶数である）
\({\small (2)}~\)「\(x\) を実数として、\(x \gt 3\) \(\Rightarrow\) \(x \gt 0\)」
\(x \gt 3\) の集合を \(P\) 、\(x \gt 0\) の集合を \(Q\) とすると、
よって、\(P\) は \(Q\) の部分集合であるので、真となる
\({\small (3)}~\)「\(a~,~b\) を実数として、\(a~,~b\) がともに無理数なら \(a+b\) は無理数」
\(a=\sqrt{2}~,~b=-\sqrt{2}\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b&=&\sqrt{2}+(-\sqrt{2})\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
これより、\(a+b\) が有理数となるので偽
反例は、\(a=\sqrt{2}~,~b=-\sqrt{2}\) など
\({\small (4)}~\)「\(a~,~b\) を実数として、\(a\) が有理数かつ \(b\) が無理数なら \(ab\) は無理数」
\(a=0~,~b=\sqrt{2}\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~ab&=&0 \cdot \sqrt{2}\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
これより、\(ab\) が有理数となるので偽
反例は、\(a=0~,~b=\sqrt{2}\) など
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