数学C｜空間ベクトル｜問題一覧 ＞ 問題解説 153
153｜同一直線上・同一平面上にある条件
153
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)空間の2点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)~,~\)\({\rm B}(4~,~-1~,~2)\) と \(xy\) 平面上の点 \({\rm P}\) が一直線上にあるとき、
\({\rm P}(\fbox{アイ}~,~\fbox{ウエ}~,~\fbox{オ})\)
\({\small (2)}~\)空間の3点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)~,~\)\({\rm B}(4~,~-1~,~2)~,~\)\({\rm C}(2~,~3~,~4)\) が定める平面 \({\rm ABC}\) 上に点 \({\rm P}(x~,~-5~,~0)\) があるとき、\(x=\fbox{カ}\) である。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)空間の2点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)~,~\)\({\rm B}(4~,~-1~,~2)\) と \(xy\) 平面上の点 \({\rm P}\) が一直線上にあるとき、
\({\rm P}(\fbox{アイ}~,~\fbox{ウエ}~,~\fbox{オ})\)
\({\small (2)}~\)空間の3点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)~,~\)\({\rm B}(4~,~-1~,~2)~,~\)\({\rm C}(2~,~3~,~4)\) が定める平面 \({\rm ABC}\) 上に点 \({\rm P}(x~,~-5~,~0)\) があるとき、\(x=\fbox{カ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトル
153 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\({\rm P}(10~,~-7~,~0)\)
\({\small (2)}~\)\(x=6\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(xy\) 平面上の点 \({\rm P}\) は \(z\) 座標が \(0\) なので、\({\rm P}(x~,~y~,~0)\) とおく。
原点を \({\rm O}\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}&=&\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}4-1\\[2pt]-1-2\\[2pt]2-3\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]-3\\[2pt]-1\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\overrightarrow{\rm OP}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}x\\[2pt]y\\[2pt]0\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}x-1\\[2pt]y-2\\[2pt]-3\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
3点 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm P}\) が一直線上にあるので、
\(\overrightarrow{\rm AP}=k\cdot\overrightarrow{\rm AB}\) となる実数 \(k\) がある
それぞれの成分を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}x-1\\[2pt]y-2\\[2pt]-3\end{array}\,\right)&=&k\cdot\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]-3\\[2pt]-1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3k\\[2pt]-3k\\[2pt]-k\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
成分がそれぞれ等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x-1=3k~ ~ ~\hspace{7pt} \cdots {\small [\,1\,]}\\ y-2=-3k~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\\ -3=-k~ ~ ~\hspace{15pt} \cdots {\small [\,3\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より \(k=3\) となるので、
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x-1&=&3\cdot 3
\\[3pt]~~~x&=&9+1
\\[3pt]~~~x&=&10\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y-2&=&-3\cdot 3
\\[3pt]~~~y&=&-9+2
\\[3pt]~~~y&=&-7\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm P}(10~,~-7~,~0)\) となる
\({\small (2)}~\)平面 \({\rm ABC}\) 上に点 \({\rm P}\) があるので
\(\overrightarrow{\rm AP}=s\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC}\) となる実数 \(s~,~t\) がある
原点を \({\rm O}\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\overrightarrow{\rm OP}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}x\\[2pt]-5\\[2pt]0\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}x-1\\[2pt]-5-2\\[2pt]0-3\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}x-1\\[2pt]-7\\[2pt]-3\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}&=&\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}4-1\\[2pt]-1-2\\[2pt]2-3\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]-3\\[2pt]-1\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AC}&=&\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]3\\[2pt]4\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}2-1\\[2pt]3-2\\[2pt]4-3\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm AP}=s\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}x-1\\[2pt]-7\\[2pt]-3\end{array}\,\right)&=&s\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]-3\\[2pt]-1\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3s+t\\[2pt]-3s+t\\[2pt]-s+t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
それぞれの成分が等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x-1=3s+t\\ -7=-3s+t \\ -3=-s+t
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~~\Leftrightarrow ~ \left\{~\begin{array}{l}
x=3s+t+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\\ 3s-t=7~ ~ ~\hspace{18pt} \cdots {\small [\,2\,]} \\ s-t=3~ ~ ~\hspace{18pt} \cdots {\small [\,3\,]}
\end{array}\right.
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
3s-t&=&7 \\~~
-\big{)}~~~~s-t&=&3\\
\hline 2s&=&4
\\[3pt] s&=&2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) に \(s=2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2-t&=&3
\\[3pt]~~~-t&=&1
\\[3pt]~~~t&=&-1\end{eqnarray}\)
\(s=2~,~t=-1\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&3\cdot 2+(-1)+1
\\[3pt]~~~x&=&6\end{eqnarray}\)
したがって、\(x=6\) となる
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