数学C｜空間ベクトル｜問題一覧 ＞ 問題解説 146
146｜座標空間の内分点・外分点・中点と重心
146
座標空間の3点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)~,~\)\({\rm B}(4~,~-1~,~2)~,~\)\({\rm C}(2~,~3~,~4)\) について、
\({\small (1)}~\)線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に内分する点 \({\rm P}\) の座標は、
\({\rm P}\left(\,\displaystyle \frac{\,\fbox{アイ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{カキ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\,\right)\)
\({\small (2)}~\)線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に外分する点 \({\rm Q}\) の座標は、
\({\rm Q}(\fbox{ケコ}~,~\fbox{サ}~,~\fbox{シ})\)
\({\small (3)}~\)線分 \({\rm AB}\) の中点 \({\rm M}\) の座標は、
\({\rm M}\left(\,\displaystyle \frac{\,\fbox{ス}\,}{\,\fbox{セ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ソ}\,}{\,\fbox{タ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{チ}\,}{\,\fbox{ツ}\,}\,\right)\)
\({\small (4)}~\)\(\triangle{\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) の座標は、
\({\rm G}\left(\,\displaystyle \frac{\,\fbox{テ}\,}{\,\fbox{ト}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ナ}\,}{\,\fbox{ニ}\,}~,~\fbox{ヌ}\,\right)\)
座標空間の3点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)~,~\)\({\rm B}(4~,~-1~,~2)~,~\)\({\rm C}(2~,~3~,~4)\) について、
\({\small (1)}~\)線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に内分する点 \({\rm P}\) の座標は、
\({\rm P}\left(\,\displaystyle \frac{\,\fbox{アイ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{カキ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\,\right)\)
\({\small (2)}~\)線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に外分する点 \({\rm Q}\) の座標は、
\({\rm Q}(\fbox{ケコ}~,~\fbox{サ}~,~\fbox{シ})\)
\({\small (3)}~\)線分 \({\rm AB}\) の中点 \({\rm M}\) の座標は、
\({\rm M}\left(\,\displaystyle \frac{\,\fbox{ス}\,}{\,\fbox{セ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ソ}\,}{\,\fbox{タ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{チ}\,}{\,\fbox{ツ}\,}\,\right)\)
\({\small (4)}~\)\(\triangle{\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) の座標は、
\({\rm G}\left(\,\displaystyle \frac{\,\fbox{テ}\,}{\,\fbox{ト}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ナ}\,}{\,\fbox{ニ}\,}~,~\fbox{ヌ}\,\right)\)
共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトル
146 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\({\rm P}\left(\,\displaystyle \frac{\,11\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,13\,}{\,5\,}\,\right)\)
\({\small (2)}~\)\({\rm Q}(-5~,~8~,~5)\)
\({\small (3)}~\)\({\rm M}\left(\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\,\right)\)
\({\small (4)}~\)\({\rm G}\left(\,\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}~,~3\,\right)\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)線分 \({\rm AB}\) の \(2:3\) の内分点 \({\rm P}\) は、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,3 \cdot 1+2 \cdot 4\,}{\,2+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+8\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,3 \cdot 2+2 \cdot (-1)\,}{\,2+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6-2\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(z\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&\displaystyle \frac{\,3 \cdot 3+2 \cdot 2\,}{\,2+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9+4\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,13\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm P}\left(\,\displaystyle \frac{\,11\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,13\,}{\,5\,}\,\right)\) となる
\({\small (2)}~\)線分 \({\rm AB}\) の \(2:3\) の外分点 \({\rm Q}\) は、
以下の図は実際にはありえない図となっているが、計算する上では、内分点と同じように考えて、比のどちらか一方にマイナスを付ける。
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,3 \cdot 1+(-2) \cdot 4\,}{\,(-2)+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-8\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-5\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,3 \cdot 2+(-2) \cdot (-1)\,}{\,(-2)+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6+2\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&8\end{eqnarray}\)
\(z\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&\displaystyle \frac{\,3 \cdot 3+(-2) \cdot 2\,}{\,(-2)+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9-4\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm Q}(-5~,~8~,~5)\) となる
\({\small (3)}~\)線分 \({\rm AB}\) の中点 \({\rm M}\) は、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1+4\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2+(-1)\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(z\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&\displaystyle \frac{\,3+2\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm M}\left(\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\,\right)\) となる
\({\small (4)}~\)3点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)~,~\)\({\rm B}(4~,~-1~,~2)~,~\)\({\rm C}(2~,~3~,~4)\) がつくる \(\triangle{\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) は、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1+4+2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2-1+3\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(z\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&\displaystyle \frac{\,3+2+4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm G}\left(\,\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}~,~3\,\right)\) となる
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