共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトルの基本問題10問【PDF・解説つき】

149 数学ⅡBC【解答】

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\(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AC}=4~,~\overrightarrow{\rm AF} \cdot \overrightarrow{\rm AD}=0\)

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\(\overrightarrow{\rm AF} \cdot \overrightarrow{\rm GD}=-8~,~\overrightarrow{\rm AC} \cdot \overrightarrow{\rm CF}=-4\)

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【より詳しい解説】
正方形 \({\rm ABCD}\) において、

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\(|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|=2\sqrt{\,2\,}\)

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なす角 \(\theta\) が \(45^{\circ}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AC}&=&|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|\cdot |\,\overrightarrow{\rm AC}\,|\cdot \cos 45^{\circ}
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot 2\sqrt{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)

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長方形 \({\rm AFGD}\) において、

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\(|\,\overrightarrow{\rm AF}\,|=2\sqrt{\,2\,}~,~|\,\overrightarrow{\rm AD}\,|=2\)

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なす角 \(\theta\) が \(90^{\circ}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF} \cdot \overrightarrow{\rm AD}&=&|\,\overrightarrow{\rm AF}\,|\cdot |\,\overrightarrow{\rm AD}\,|\cdot \cos 90^{\circ}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,2\,} \cdot 2 \cdot 0
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

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※ 垂直＝内積が0となる。

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長方形 \({\rm AFGD}\) において、

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\(|\,\overrightarrow{\rm AF}\,|=2\sqrt{\,2\,}~,~|\,\overrightarrow{\rm GD}\,|=2\sqrt{\,2\,}\)

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なす角 \(\theta\) は、\(\overrightarrow{\rm GD}\) を始点 \({\rm A}\) に平行移動したとき、\(\theta=180^{\circ}\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF} \cdot \overrightarrow{\rm GD}&=&|\,\overrightarrow{\rm AF}\,|\cdot |\,\overrightarrow{\rm GD}\,|\cdot \cos 180^{\circ}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,2\,} \cdot 2\sqrt{\,2\,} \cdot (-1)
\\[5pt]~~~&=&-8\end{eqnarray}\)

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正三角形 \({\rm ACF}\) において、

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\(|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|=2\sqrt{\,2\,}~,~|\,\overrightarrow{\rm CF}\,|=2\sqrt{\,2\,}\)

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なす角 \(\theta\) は、\(\overrightarrow{\rm CF}\) を始点 \({\rm A}\) に平行移動したとき、\(\theta=120^{\circ}\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AC} \cdot \overrightarrow{\rm CF}&=&|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|\cdot |\,\overrightarrow{\rm CF}\,|\cdot \cos 120^{\circ}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,2\,} \cdot 2\sqrt{\,2\,} \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-4\end{eqnarray}\)