平面上のベクトルの問題130〜144です。PDFを印刷して解くか、このページで問題を確認して解いてみましょう。解き終わったら、各問題の下の「詳しい解説はこちら→」から、解答と詳しい解説を確認できます。
目次
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
130｜ベクトルの式の計算
130
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(3(\overrightarrow{a}+2\,\overrightarrow{b})-2(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}+\fbox{ア}\,\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\)等式 \(2\,\overrightarrow{x}+6\,\overrightarrow{a}=4\,\overrightarrow{x}+2\,\overrightarrow{b}\) を満たすベクトル \(\overrightarrow{x}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) を用いて表すと、\(\overrightarrow{x}=\fbox{イ}\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
問題130｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(3(\overrightarrow{a}+2\,\overrightarrow{b})-2(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}+\fbox{ア}\,\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\)等式 \(2\,\overrightarrow{x}+6\,\overrightarrow{a}=4\,\overrightarrow{x}+2\,\overrightarrow{b}\) を満たすベクトル \(\overrightarrow{x}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) を用いて表すと、\(\overrightarrow{x}=\fbox{イ}\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
131｜正六角形のベクトルの表し方
131
正六角形 \({\rm ABCDEF}\) とその対角線の交点を \({\rm O}\) とする。\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{b}\) とするとき、次のベクトルを \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) を用いて表せ。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm AD}=\fbox{ア}\,\overrightarrow{a}+\fbox{イ}\,\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{\rm AC}=\fbox{ウ}\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)
\({\small (3)}~\)\(\overrightarrow{\rm BD}=\overrightarrow{a}+\fbox{エ}\,\overrightarrow{b}\)
問題131｜詳しい解説はこちら→
正六角形 \({\rm ABCDEF}\) とその対角線の交点を \({\rm O}\) とする。\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{b}\) とするとき、次のベクトルを \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) を用いて表せ。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm AD}=\fbox{ア}\,\overrightarrow{a}+\fbox{イ}\,\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{\rm AC}=\fbox{ウ}\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)
\({\small (3)}~\)\(\overrightarrow{\rm BD}=\overrightarrow{a}+\fbox{エ}\,\overrightarrow{b}\)
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
132｜ベクトルの成分を用いた計算と大きさ
132
\(\overrightarrow{a}=(1~,~2)~,~\overrightarrow{b}=(-3~,~4)\) とする。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(\fbox{アイ}~,~\fbox{ウ})\)
\(\hspace{13pt}\)\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(\fbox{エ}~,~\fbox{オカ})\)
\(\hspace{13pt}\)\(2\,\overrightarrow{a}-3\,\overrightarrow{b}=(\fbox{キク}~,~\fbox{ケコ})\)
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{p}=(6~,~2)\) を \(s\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\) の形で表すと、
\(\hspace{13pt}\)\(\overrightarrow{p}=\fbox{サ}\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
\({\small (3)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}\,|=\sqrt{\,\fbox{シ}\,}\)\(~,~\)\(|\,\overrightarrow{b}\,|=\fbox{ス}\)
\(\hspace{13pt}\)\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|=\fbox{セ}\sqrt{\,\fbox{ソタ}\,}\)
問題132｜詳しい解説はこちら→
\(\overrightarrow{a}=(1~,~2)~,~\overrightarrow{b}=(-3~,~4)\) とする。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(\fbox{アイ}~,~\fbox{ウ})\)
\(\hspace{13pt}\)\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(\fbox{エ}~,~\fbox{オカ})\)
\(\hspace{13pt}\)\(2\,\overrightarrow{a}-3\,\overrightarrow{b}=(\fbox{キク}~,~\fbox{ケコ})\)
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{p}=(6~,~2)\) を \(s\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\) の形で表すと、
\(\hspace{13pt}\)\(\overrightarrow{p}=\fbox{サ}\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
\({\small (3)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}\,|=\sqrt{\,\fbox{シ}\,}\)\(~,~\)\(|\,\overrightarrow{b}\,|=\fbox{ス}\)
\(\hspace{13pt}\)\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|=\fbox{セ}\sqrt{\,\fbox{ソタ}\,}\)
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
133｜平行四辺形となるベクトルの条件
133
平面上の4点 \({\rm A}(4~,~-5)~,~{\rm B}(-2~,~3)~,~\)\({\rm C}(5~,~4)~,~{\rm D}\) を頂点とする四角形が平行四辺形 \({\rm ABCD}\) となるとき、点 \({\rm D}\) の座標は、\({\rm D}(\fbox{アイ}~,~\fbox{ウエ})\) となる。
問題133｜詳しい解説はこちら→
平面上の4点 \({\rm A}(4~,~-5)~,~{\rm B}(-2~,~3)~,~\)\({\rm C}(5~,~4)~,~{\rm D}\) を頂点とする四角形が平行四辺形 \({\rm ABCD}\) となるとき、点 \({\rm D}\) の座標は、\({\rm D}(\fbox{アイ}~,~\fbox{ウエ})\) となる。
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
134｜ベクトルと平行な単位ベクトルの成分
134
\(\overrightarrow{b}=(-3~,~4)\) のとき、\(\overrightarrow{b}\) に平行な単位ベクトルは、
\(\left(\displaystyle \frac{\,\fbox{アイ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\right)~,~\left(\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\right)\) である。
問題134｜詳しい解説はこちら→
\(\overrightarrow{b}=(-3~,~4)\) のとき、\(\overrightarrow{b}\) に平行な単位ベクトルは、
\(\left(\displaystyle \frac{\,\fbox{アイ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\right)~,~\left(\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\right)\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
135｜ベクトルの成分と大きさの最小値
135
\(t\) を実数とし、\(\overrightarrow{a}=(1~,~2)~,~\overrightarrow{b}=(3~,~1)\) のとき、\(|\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\,|\) は \(t=\displaystyle \frac{\,\fbox{アイ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}\) で、最小値 \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,\fbox{エオ}\,}\,}{\,\fbox{カ}\,}\) をとる。
問題135｜詳しい解説はこちら→
\(t\) を実数とし、\(\overrightarrow{a}=(1~,~2)~,~\overrightarrow{b}=(3~,~1)\) のとき、\(|\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\,|\) は \(t=\displaystyle \frac{\,\fbox{アイ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}\) で、最小値 \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,\fbox{エオ}\,}\,}{\,\fbox{カ}\,}\) をとる。
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
136｜2つのベクトルの内積となす角
136
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3\) で、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とするとき、
\(\theta=30^{\circ}\) のとき \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\fbox{ア}\sqrt{\,\fbox{イ}\,}\)
\(\theta=90^{\circ}\) のとき \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\fbox{ウ}\)
\(\theta=135^{\circ}\) のとき \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\fbox{エオ}\sqrt{\,\fbox{カ}\,}\)
\(\theta=180^{\circ}\) のとき \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\fbox{キク}\)
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{a}=(1~,~2)~,~\overrightarrow{b}=(3~,~1)\) のとき、
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\fbox{ケ}\) で、なす角 \(\theta=\fbox{コサ}^{\circ}\) となる。
問題136｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3\) で、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とするとき、
\(\theta=30^{\circ}\) のとき \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\fbox{ア}\sqrt{\,\fbox{イ}\,}\)
\(\theta=90^{\circ}\) のとき \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\fbox{ウ}\)
\(\theta=135^{\circ}\) のとき \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\fbox{エオ}\sqrt{\,\fbox{カ}\,}\)
\(\theta=180^{\circ}\) のとき \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\fbox{キク}\)
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{a}=(1~,~2)~,~\overrightarrow{b}=(3~,~1)\) のとき、
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\fbox{ケ}\) で、なす角 \(\theta=\fbox{コサ}^{\circ}\) となる。
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
137｜ベクトルの成分と平行条件・垂直条件
137
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{a}=(1~,~2)~,~\overrightarrow{b}=(t-3~,~t)\) が平行になるとき、\(t=\fbox{ア}\) である。
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{a}=(1~,~2)~,~\overrightarrow{b}=(x~,~3)\) が垂直になるとき、\(x=\fbox{イウ}\) である。
\({\small (3)}~\)\(\overrightarrow{a}=(1~,~2)\) に垂直で大きさが \(\sqrt{\,5\,}\) のベクトルは、\((\fbox{エオ}~,~\fbox{カ})~,~\)\((\fbox{キ}~,~\fbox{クケ})\) である。
問題137｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{a}=(1~,~2)~,~\overrightarrow{b}=(t-3~,~t)\) が平行になるとき、\(t=\fbox{ア}\) である。
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{a}=(1~,~2)~,~\overrightarrow{b}=(x~,~3)\) が垂直になるとき、\(x=\fbox{イウ}\) である。
\({\small (3)}~\)\(\overrightarrow{a}=(1~,~2)\) に垂直で大きさが \(\sqrt{\,5\,}\) のベクトルは、\((\fbox{エオ}~,~\fbox{カ})~,~\)\((\fbox{キ}~,~\fbox{クケ})\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
138｜内積とベクトルの和の大きさ
138
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3\) のとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=4\) のとき、\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{\,\fbox{アイ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{\,19\,}\) のとき、
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\fbox{ウエ}\) であり、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とすると \(\theta=\fbox{オカキ}^{\circ}\) である。
問題138｜詳しい解説はこちら→
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3\) のとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=4\) のとき、\(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{\,\fbox{アイ}\,}\)
\({\small (2)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{\,19\,}\) のとき、
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\fbox{ウエ}\) であり、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とすると \(\theta=\fbox{オカキ}^{\circ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
139｜平面ベクトルの大きさと最小値
139
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3~,~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{\,19\,}\) のとき、\(|\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\,|\) は \(t=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\) で、最小値 \(\sqrt{\,\fbox{ウ}\,}\) をとる。
問題139｜詳しい解説はこちら→
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=2~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=3~,~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{\,19\,}\) のとき、\(|\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\,|\) は \(t=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\) で、最小値 \(\sqrt{\,\fbox{ウ}\,}\) をとる。
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
140｜位置ベクトルの内分点・外分点・中点と重心
140
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})\) とするとき、線分 \({\rm AB}\) を
\(2:3\) に内分する点の位置ベクトルは、
\(\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\,\overrightarrow{b}\)
\(2:3\) に外分する点の位置ベクトルは、
\(\fbox{オ}\,\overrightarrow{a}-\fbox{カ}\,\overrightarrow{b}\)
中点の位置ベクトルは、
\(\displaystyle \frac{\,\fbox{キ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\,\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\)\(\triangle{\rm ABC}\) において、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm D}\)、線分 \({\rm AD}\) を \(2:3\) に内分する点を \({\rm E}\) とするとき、
\(\overrightarrow{\rm AE}=\displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ス}\,}{\,\fbox{セ}\,}\,\overrightarrow{\rm AC}\)
\({\small (3)}~\)\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})\) を頂点とする \(\triangle{\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) について、
重心の位置ベクトルは \(\overrightarrow{g}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,\fbox{ソ}\,}\) 。
また、\(\overrightarrow{\rm AG}=\displaystyle \frac{\,\fbox{タ}\,}{\,\fbox{チ}\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ツ}\,}{\,\fbox{テ}\,}\,\overrightarrow{\rm AC}\)
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次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})\) とするとき、線分 \({\rm AB}\) を
\(2:3\) に内分する点の位置ベクトルは、
\(\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\,\overrightarrow{b}\)
\(2:3\) に外分する点の位置ベクトルは、
\(\fbox{オ}\,\overrightarrow{a}-\fbox{カ}\,\overrightarrow{b}\)
中点の位置ベクトルは、
\(\displaystyle \frac{\,\fbox{キ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\,\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\)\(\triangle{\rm ABC}\) において、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm D}\)、線分 \({\rm AD}\) を \(2:3\) に内分する点を \({\rm E}\) とするとき、
\(\overrightarrow{\rm AE}=\displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ス}\,}{\,\fbox{セ}\,}\,\overrightarrow{\rm AC}\)
\({\small (3)}~\)\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})\) を頂点とする \(\triangle{\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) について、
重心の位置ベクトルは \(\overrightarrow{g}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,\fbox{ソ}\,}\) 。
また、\(\overrightarrow{\rm AG}=\displaystyle \frac{\,\fbox{タ}\,}{\,\fbox{チ}\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ツ}\,}{\,\fbox{テ}\,}\,\overrightarrow{\rm AC}\)
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
141｜三角形の内心と位置ベクトル
141
\({\rm AB}=6~,~{\rm BC}=5~,~{\rm CA}=4\) の \(\triangle{\rm ABC}\) の内心を \({\rm I}\) とし、直線 \({\rm AI}\) と辺 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm D}\) とする。\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とするとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm BD}:{\rm DC}=\fbox{ア}:\fbox{イ}\) であり、
\(\hspace{13pt}\)\(\overrightarrow{\rm AD}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\,\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,\fbox{オ}\,}{\,\fbox{カ}\,}\,\overrightarrow{c}\)
\({\small (2)}~\)\({\rm AI}:{\rm ID}=\fbox{キ}:\fbox{ク}\) であり、
\(\hspace{13pt}\)\(\overrightarrow{\rm AI}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\fbox{コサ}\,}\,\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,\fbox{シ}\,}{\,\fbox{ス}\,}\,\overrightarrow{c}\)
問題141｜詳しい解説はこちら→
\({\rm AB}=6~,~{\rm BC}=5~,~{\rm CA}=4\) の \(\triangle{\rm ABC}\) の内心を \({\rm I}\) とし、直線 \({\rm AI}\) と辺 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm D}\) とする。\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とするとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm BD}:{\rm DC}=\fbox{ア}:\fbox{イ}\) であり、
\(\hspace{13pt}\)\(\overrightarrow{\rm AD}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\,\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,\fbox{オ}\,}{\,\fbox{カ}\,}\,\overrightarrow{c}\)
\({\small (2)}~\)\({\rm AI}:{\rm ID}=\fbox{キ}:\fbox{ク}\) であり、
\(\hspace{13pt}\)\(\overrightarrow{\rm AI}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\fbox{コサ}\,}\,\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,\fbox{シ}\,}{\,\fbox{ス}\,}\,\overrightarrow{c}\)
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
142｜係数の和が一定の値の点の存在範囲
142
平面上の3点 \({\rm O}~,~{\rm A}~,~{\rm B}\) が次の条件を満たしている。
\(|\,\overrightarrow{\rm OA}\,|=1~,~|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|=2~,~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}=1\)
また、点 \({\rm P}\) は実数 \(s~,~t\) を用いて \(\overrightarrow{\rm OP}=s\,\overrightarrow{\rm OA}+t\,\overrightarrow{\rm OB}\) と表される点である。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm OA}\) と \(\overrightarrow{\rm OB}\) のなす角は \(\theta=\fbox{アイ}^{\circ}\) 。
\({\small (2)}~\)\(s+t=1~,~s{\small ~≧~}0~,~t{\small ~≧~}0\) のとき、点 \({\rm P}\) が描く線分の長さは \(\sqrt{\,\fbox{ウ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)\(s+t{\small ~≦~}1~,~s{\small ~≧~}0~,~t{\small ~≧~}0\) のとき、点 \({\rm P}\) が存在する範囲の面積は \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\,}{\,\fbox{オ}\,}\) である。
問題142｜詳しい解説はこちら→
平面上の3点 \({\rm O}~,~{\rm A}~,~{\rm B}\) が次の条件を満たしている。
\(|\,\overrightarrow{\rm OA}\,|=1~,~|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|=2~,~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}=1\)
また、点 \({\rm P}\) は実数 \(s~,~t\) を用いて \(\overrightarrow{\rm OP}=s\,\overrightarrow{\rm OA}+t\,\overrightarrow{\rm OB}\) と表される点である。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm OA}\) と \(\overrightarrow{\rm OB}\) のなす角は \(\theta=\fbox{アイ}^{\circ}\) 。
\({\small (2)}~\)\(s+t=1~,~s{\small ~≧~}0~,~t{\small ~≧~}0\) のとき、点 \({\rm P}\) が描く線分の長さは \(\sqrt{\,\fbox{ウ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)\(s+t{\small ~≦~}1~,~s{\small ~≧~}0~,~t{\small ~≧~}0\) のとき、点 \({\rm P}\) が存在する範囲の面積は \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\,}{\,\fbox{オ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
143｜三角形内部の点の位置ベクトル
143
\(\triangle{\rm OAB}\) において、\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) とする。辺 \({\rm OA}\) の中点を \({\rm C}\)、辺 \({\rm OB}\) を \(1:2\) に内分する点を \({\rm D}\)、2直線 \({\rm AD}\) と \({\rm BC}\) の交点を \({\rm P}\) とする。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm OC}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\,\overrightarrow{a}~,~\)\(\overrightarrow{\rm OD}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\,\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\)\({\rm AP}:{\rm PD}=\fbox{オ}:\fbox{カ}\)
\({\small (3)}~\)\(\overrightarrow{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,\fbox{キ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\,\overrightarrow{b}\)
問題143｜詳しい解説はこちら→
\(\triangle{\rm OAB}\) において、\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) とする。辺 \({\rm OA}\) の中点を \({\rm C}\)、辺 \({\rm OB}\) を \(1:2\) に内分する点を \({\rm D}\)、2直線 \({\rm AD}\) と \({\rm BC}\) の交点を \({\rm P}\) とする。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm OC}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\,\overrightarrow{a}~,~\)\(\overrightarrow{\rm OD}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\,\overrightarrow{b}\)
\({\small (2)}~\)\({\rm AP}:{\rm PD}=\fbox{オ}:\fbox{カ}\)
\({\small (3)}~\)\(\overrightarrow{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,\fbox{キ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\,\overrightarrow{b}\)
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
144｜ベクトルの等式と点の位置
144
\(\triangle{\rm ABC}\) において \(5\,\overrightarrow{\rm PA}+4\,\overrightarrow{\rm PB}+3\,\overrightarrow{\rm PC}=\overrightarrow{0}\) を満たす点 \({\rm P}\) について、\(\overrightarrow{\rm AP}\) を \(\overrightarrow{\rm AB}~,~\overrightarrow{\rm AC}\) を用いて表すと、
\(\overrightarrow{\rm AP}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\,\overrightarrow{\rm AC}\)
また、辺 \({\rm BC}\) を \(\fbox{オ}:\fbox{カ}\) に内分する点を \({\rm D}\) とすると \(\overrightarrow{\rm AP}=\displaystyle \frac{\,\fbox{キ}\,}{\,\fbox{クケ}\,}\,\overrightarrow{\rm AD}\) となるから、
点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AD}\) を \(\fbox{コ}:\fbox{サ}\) に内分する点である。
これより、
\(\triangle{\rm PBC}:\triangle{\rm PCA}:\triangle{\rm PAB}=\fbox{シ}:\fbox{ス}:\fbox{セ}\)
問題144｜詳しい解説はこちら→
\(\triangle{\rm ABC}\) において \(5\,\overrightarrow{\rm PA}+4\,\overrightarrow{\rm PB}+3\,\overrightarrow{\rm PC}=\overrightarrow{0}\) を満たす点 \({\rm P}\) について、\(\overrightarrow{\rm AP}\) を \(\overrightarrow{\rm AB}~,~\overrightarrow{\rm AC}\) を用いて表すと、
\(\overrightarrow{\rm AP}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\,\overrightarrow{\rm AC}\)
また、辺 \({\rm BC}\) を \(\fbox{オ}:\fbox{カ}\) に内分する点を \({\rm D}\) とすると \(\overrightarrow{\rm AP}=\displaystyle \frac{\,\fbox{キ}\,}{\,\fbox{クケ}\,}\,\overrightarrow{\rm AD}\) となるから、
点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AD}\) を \(\fbox{コ}:\fbox{サ}\) に内分する点である。
これより、
\(\triangle{\rm PBC}:\triangle{\rm PCA}:\triangle{\rm PAB}=\fbox{シ}:\fbox{ス}:\fbox{セ}\)
共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトル
