共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトルの基本問題15問【PDF・解説つき】

137 数学IIBC【解答】

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\({\small (1)}~\)\(t=6\)

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\({\small (2)}~\)\(x=-6\)

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\({\small (3)}~\)\((-2~,~1)~,~(2~,~-1)\)

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\) より、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) が平行であるのは、\(\overrightarrow{b}=k\,\overrightarrow{a}\) となる実数 \(k\) が存在するときである

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※ 成分に文字を含まない方を \(k\) 倍とすると計算が楽！

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\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}t-3\\[2pt]t\end{array}\,\right)\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~
\left(\,\begin{array}{c}t-3\\[2pt]t\end{array}\,\right)&=&k\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}k\\[2pt]2k\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)

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\(x\) 成分と \(y\) 成分がそれぞれ等しいことより、

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\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
t-3=k ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\\[3pt]
t=2k ~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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※ \(t\) を求めるので、\(k\) を消去する。

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\({\small [\,1\,]}\) より \(k=t-3\) を \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~t&=&2(t-3)
\\[3pt]~~~t&=&2t-6
\\[3pt]~~~-t&=&-6
\\[3pt]~~~t&=&6
\end{eqnarray}\)

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したがって、\(t=6\) となる

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\({\small (2)}~\)2つのベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) が垂直であるので、内積 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1{\, \small \times \,}x+2{\, \small \times \,}3&=&0
\\[3pt]~~~x+6&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-6
\end{eqnarray}\)

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\({\small (3)}~\)求めるベクトルを \(\overrightarrow{b}=(x~,~y)\) とおくと、

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\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\) より、内積 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1{\, \small \times \,}x+2{\, \small \times \,}y&=&0
\\[3pt]~~~x+2y&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

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また、大きさが \(\sqrt{\,5\,}\) より、\(|\,\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{\,5\,}\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{\,x^2+y^2\,}&=&\sqrt{\,5\,}
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&5~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) より \(x=-2y\) を \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~(-2y)^2+y^2&=&5
\\[3pt]~~~4y^2+y^2&=&5
\\[3pt]~~~5y^2&=&5
\\[3pt]~~~y^2&=&1
\\[3pt]~~~y&=&\pm1
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) より \(x=-2y\) であるので、それぞれの \(y\) の値を代入すると、

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　\(y=1\) のとき、\(x=-2\)

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　\(y=-1\) のとき、\(x=-2{\, \small \times \,}(-1)=2\)

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したがって、

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　　\((-2~,~1)~,~(2~,~-1)\) となる