共通テスト数学ⅡBC｜平面上のベクトルの基本問題15問【PDF・解説つき】

144 数学IIBC【解答】

---

\(\overrightarrow{\rm AP}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,\overrightarrow{\rm AC}\)

---

\(3:4\) 、 \(\overrightarrow{\rm AP}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\,\overrightarrow{\rm AD}\) 、 \(7:5\)

---

\(\triangle{\rm PBC}:\triangle{\rm PCA}:\triangle{\rm PAB}=5:4:3\)

---

---

---

【より詳しい解説】
\(5\,\overrightarrow{\rm PA}+4\,\overrightarrow{\rm PB}+3\,\overrightarrow{\rm PC}=\overrightarrow{0}\) の始点を \({\rm A}\) からにすると、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とおくと、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-12\,\overrightarrow{\rm AP}+4\,\overrightarrow{b}+3\,\overrightarrow{c}&=&\overrightarrow{0}
\\[5pt]~~~-12\,\overrightarrow{\rm AP}&=&-4\,\overrightarrow{b}-3\,\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,4\,\overrightarrow{b}+3\,\overrightarrow{c}\,}{\,12\,}
\end{eqnarray}\)

---

これより、項ごとに分けて \(\overrightarrow{\rm AB}~,~\overrightarrow{\rm AC}\) にもどすと、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,12\,}\,\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,12\,}\,\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,\overrightarrow{\rm AC}
\end{eqnarray}\)

---

次に、分子の係数の和 \(4+3=7\) を分母分子にかけて、実数倍×内分のベクトルの形に式変形すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,\overrightarrow{b}+3\,\overrightarrow{c}\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,\overrightarrow{b}+3\,\overrightarrow{c}\,}{\,3+4\,}
\end{eqnarray}\)

---

ここで、辺 \({\rm BC}\) を \(3:4\) に内分する点を \({\rm D}\) とすると、\(\overrightarrow{\rm AD}=\displaystyle \frac{\,4\,\overrightarrow{b}+3\,\overrightarrow{c}\,}{\,3+4\,}\) となるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\,\overrightarrow{\rm AD}
\end{eqnarray}\)

---

---

したがって、

---

点 \({\rm P}\) は、点 \({\rm A}\) と辺 \({\rm BC}\) を \(3:4\) に内分する点 \({\rm D}\) を結んだ線分 \({\rm AD}\) を \(7:5\) に内分する点である

---

また、\({\rm BD}:{\rm DC}=3:4~,~{\rm AP}:{\rm PD}=7:5\) であるので、\(\triangle{\rm ABC}\) の面積を \(S\) とすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\triangle{\rm ABD}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3+4\,}S
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}S
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~\triangle{\rm ADC}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3+4\,}S
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}S
\end{eqnarray}\)

---

点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AD}\) を \(7:5\) に内分する点であるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\triangle{\rm PAB}&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\triangle{\rm ABD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}S
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}S
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~\triangle{\rm PCA}&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\triangle{\rm ADC}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}S
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}S
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~\triangle{\rm PBC}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7+5\,}\triangle{\rm ABC}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}S
\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&\triangle{\rm PBC}:\triangle{\rm PCA}:\triangle{\rm PAB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}S:\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}S:\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}S
\\[5pt]~~~&=&5:4:3
\end{eqnarray}\)