空間ベクトルの問題145〜154です。PDFを印刷して解くか、このページで問題を確認して解いてみましょう。解き終わったら、各問題の下の「詳しい解説はこちら→」から、解答と詳しい解説を確認できます。
目次
共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトル
145｜空間の点の対称な点の座標
145
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)空間の点 \({\rm P}(1~,~2~,~3)\) と以下のものに関して対称な点の座標は、
\(xy\) 平面：\((\fbox{ア}~,~\fbox{イ}~,~\fbox{ウエ})\)
\(z\) 軸：\((\fbox{オカ}~,~\fbox{キク}~,~\fbox{ケ})\)
原点：\((\fbox{コサ}~,~\fbox{シス}~,~\fbox{セソ})\)
\({\small (2)}~\)空間の点 \({\rm A}(2~,~1~,~-1)\) の、
点 \({\rm B}(1~,~-1~,~-2)\) に関して対称な点 \({\rm C}\) の座標は、\((\fbox{タ}~,~\fbox{チツ}~,~\fbox{テト})\) である。
問題145｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)空間の点 \({\rm P}(1~,~2~,~3)\) と以下のものに関して対称な点の座標は、
\(xy\) 平面：\((\fbox{ア}~,~\fbox{イ}~,~\fbox{ウエ})\)
\(z\) 軸：\((\fbox{オカ}~,~\fbox{キク}~,~\fbox{ケ})\)
原点：\((\fbox{コサ}~,~\fbox{シス}~,~\fbox{セソ})\)
\({\small (2)}~\)空間の点 \({\rm A}(2~,~1~,~-1)\) の、
点 \({\rm B}(1~,~-1~,~-2)\) に関して対称な点 \({\rm C}\) の座標は、\((\fbox{タ}~,~\fbox{チツ}~,~\fbox{テト})\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトル
146｜座標空間の内分点・外分点・中点と重心
146
座標空間の3点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)~,~\)\({\rm B}(4~,~-1~,~2)~,~\)\({\rm C}(2~,~3~,~4)\) について、
\({\small (1)}~\)線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に内分する点 \({\rm P}\) の座標は、
\({\rm P}\left(\,\displaystyle \frac{\,\fbox{アイ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{カキ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\,\right)\)
\({\small (2)}~\)線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に外分する点 \({\rm Q}\) の座標は、
\({\rm Q}(\fbox{ケコ}~,~\fbox{サ}~,~\fbox{シ})\)
\({\small (3)}~\)線分 \({\rm AB}\) の中点 \({\rm M}\) の座標は、
\({\rm M}\left(\,\displaystyle \frac{\,\fbox{ス}\,}{\,\fbox{セ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ソ}\,}{\,\fbox{タ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{チ}\,}{\,\fbox{ツ}\,}\,\right)\)
\({\small (4)}~\)\(\triangle{\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) の座標は、
\({\rm G}\left(\,\displaystyle \frac{\,\fbox{テ}\,}{\,\fbox{ト}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ナ}\,}{\,\fbox{ニ}\,}~,~\fbox{ヌ}\,\right)\)
問題146｜詳しい解説はこちら→
座標空間の3点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)~,~\)\({\rm B}(4~,~-1~,~2)~,~\)\({\rm C}(2~,~3~,~4)\) について、
\({\small (1)}~\)線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に内分する点 \({\rm P}\) の座標は、
\({\rm P}\left(\,\displaystyle \frac{\,\fbox{アイ}\,}{\,\fbox{ウ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{カキ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\,\right)\)
\({\small (2)}~\)線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に外分する点 \({\rm Q}\) の座標は、
\({\rm Q}(\fbox{ケコ}~,~\fbox{サ}~,~\fbox{シ})\)
\({\small (3)}~\)線分 \({\rm AB}\) の中点 \({\rm M}\) の座標は、
\({\rm M}\left(\,\displaystyle \frac{\,\fbox{ス}\,}{\,\fbox{セ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ソ}\,}{\,\fbox{タ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{チ}\,}{\,\fbox{ツ}\,}\,\right)\)
\({\small (4)}~\)\(\triangle{\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) の座標は、
\({\rm G}\left(\,\displaystyle \frac{\,\fbox{テ}\,}{\,\fbox{ト}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{ナ}\,}{\,\fbox{ニ}\,}~,~\fbox{ヌ}\,\right)\)
共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトル
147｜成分計算と空間ベクトルの表し方
147
\(\overrightarrow{a}=(1~,~2~,~3)~,~\)\(\overrightarrow{b}=(-2~,~4~,~0)~,~\)\(\overrightarrow{c}=(3~,~0~,~-1)\) のとき、\(\overrightarrow{p}=(-3~,~8~,~7)\) を \(\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}\) と表すと、
\(s=\fbox{ア}~,~\)\(t=\fbox{イ}~,~\)\(u=\fbox{ウエ}\)
問題147｜詳しい解説はこちら→
\(\overrightarrow{a}=(1~,~2~,~3)~,~\)\(\overrightarrow{b}=(-2~,~4~,~0)~,~\)\(\overrightarrow{c}=(3~,~0~,~-1)\) のとき、\(\overrightarrow{p}=(-3~,~8~,~7)\) を \(\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}\) と表すと、
\(s=\fbox{ア}~,~\)\(t=\fbox{イ}~,~\)\(u=\fbox{ウエ}\)
共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトル
148｜空間ベクトルの内積となす角
148
\(\overrightarrow{a}=(2~,~1~,~1)~,~\)\(\overrightarrow{b}=(2~,~4~,~-2)\) のとき、
\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\fbox{ア}\)
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=\sqrt{\,\fbox{イ}\,}~,~\)\(|\,\overrightarrow{b}\,|=\fbox{ウ}\,\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\)
よって、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とすると、
\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{オ}\,}{\,\fbox{カ}\,}~,~\)\(\theta=\fbox{キク}^{\circ}\) となる。
問題148｜詳しい解説はこちら→
\(\overrightarrow{a}=(2~,~1~,~1)~,~\)\(\overrightarrow{b}=(2~,~4~,~-2)\) のとき、
\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\fbox{ア}\)
\(|\,\overrightarrow{a}\,|=\sqrt{\,\fbox{イ}\,}~,~\)\(|\,\overrightarrow{b}\,|=\fbox{ウ}\,\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\)
よって、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とすると、
\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,\fbox{オ}\,}{\,\fbox{カ}\,}~,~\)\(\theta=\fbox{キク}^{\circ}\) となる。
共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトル
149｜立方体における内積
149
1辺の長さが \(2\) の立方体 \({\rm ABCD-EFGH}\) において、
\(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AC}=\fbox{ア}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AF} \cdot \overrightarrow{\rm AD}=\fbox{イ}\)
\(\overrightarrow{\rm AF} \cdot \overrightarrow{\rm GD}=\fbox{ウエ}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AC} \cdot \overrightarrow{\rm CF}=\fbox{オカ}\)
問題149｜詳しい解説はこちら→
1辺の長さが \(2\) の立方体 \({\rm ABCD-EFGH}\) において、
\(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AC}=\fbox{ア}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AF} \cdot \overrightarrow{\rm AD}=\fbox{イ}\)
\(\overrightarrow{\rm AF} \cdot \overrightarrow{\rm GD}=\fbox{ウエ}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AC} \cdot \overrightarrow{\rm CF}=\fbox{オカ}\)
共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトル
150｜成分表示の空間ベクトルの垂直条件
150
\(\overrightarrow{a}=(1~,~2~,~3)~,~\)\(\overrightarrow{b}=(-2~,~-1~,~0)\) の両方に垂直で、大きさが \(\sqrt{\,6\,}\) のベクトルは、
\((\fbox{ア}~,~\fbox{イウ}~,~\fbox{エ})\) と \((\fbox{オカ}~,~\fbox{キ}~,~\fbox{クケ})\) である。
問題150｜詳しい解説はこちら→
\(\overrightarrow{a}=(1~,~2~,~3)~,~\)\(\overrightarrow{b}=(-2~,~-1~,~0)\) の両方に垂直で、大きさが \(\sqrt{\,6\,}\) のベクトルは、
\((\fbox{ア}~,~\fbox{イウ}~,~\fbox{エ})\) と \((\fbox{オカ}~,~\fbox{キ}~,~\fbox{クケ})\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトル
151｜空間における三角形の面積
151
空間の3点 \({\rm A}(0~,~-1~,~1)~,~\)\({\rm B}(-2~,~3~,~-1)~,~\)\({\rm C}(1~,~0~,~-1)\) を頂点とする \(\triangle{\rm ABC}\) について、
\(\overrightarrow{\rm AB}=(\fbox{アイ}~,~\fbox{ウ}~,~\fbox{エオ})\)
\(\overrightarrow{\rm AC}=(\fbox{カ}~,~\fbox{キ}~,~\fbox{クケ})\)
\(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=\fbox{コ}\)
\(|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|=\fbox{サ}\,\sqrt{\,\fbox{シ}\,}~,~\)\(|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|=\sqrt{\,\fbox{ス}\,}\)
よって、\(\triangle{\rm ABC}\) の面積は \(\fbox{セ}\,\sqrt{\,\fbox{ソ}\,}\) である。
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空間の3点 \({\rm A}(0~,~-1~,~1)~,~\)\({\rm B}(-2~,~3~,~-1)~,~\)\({\rm C}(1~,~0~,~-1)\) を頂点とする \(\triangle{\rm ABC}\) について、
\(\overrightarrow{\rm AB}=(\fbox{アイ}~,~\fbox{ウ}~,~\fbox{エオ})\)
\(\overrightarrow{\rm AC}=(\fbox{カ}~,~\fbox{キ}~,~\fbox{クケ})\)
\(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=\fbox{コ}\)
\(|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|=\fbox{サ}\,\sqrt{\,\fbox{シ}\,}~,~\)\(|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|=\sqrt{\,\fbox{ス}\,}\)
よって、\(\triangle{\rm ABC}\) の面積は \(\fbox{セ}\,\sqrt{\,\fbox{ソ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトル
152｜直線と平面の交点のベクトル
152
四面体 \({\rm OABC}\) の辺 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に内分する点を \({\rm D}\)、辺 \({\rm OC}\) の中点を \({\rm E}\)、線分 \({\rm DE}\) を \(2:1\) に内分する点を \({\rm F}\)、直線 \({\rm OF}\) と \(\triangle{\rm ABC}\) の交点を \({\rm P}\) とすると、
\(\overrightarrow{\rm OF}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イウ}\,}\,\overrightarrow{\rm OA}+\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\,\overrightarrow{\rm OB}+\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キ}\,}\,\overrightarrow{\rm OC}\)
これより、\(\overrightarrow{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\,\overrightarrow{\rm OF}\) となり、
\({\rm OF:FP}=\fbox{コ}:\fbox{サ}\) である。
問題152｜詳しい解説はこちら→
四面体 \({\rm OABC}\) の辺 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に内分する点を \({\rm D}\)、辺 \({\rm OC}\) の中点を \({\rm E}\)、線分 \({\rm DE}\) を \(2:1\) に内分する点を \({\rm F}\)、直線 \({\rm OF}\) と \(\triangle{\rm ABC}\) の交点を \({\rm P}\) とすると、
\(\overrightarrow{\rm OF}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イウ}\,}\,\overrightarrow{\rm OA}+\displaystyle \frac{\,\fbox{エ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\,\overrightarrow{\rm OB}+\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キ}\,}\,\overrightarrow{\rm OC}\)
これより、\(\overrightarrow{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\,\overrightarrow{\rm OF}\) となり、
\({\rm OF:FP}=\fbox{コ}:\fbox{サ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトル
153｜同一直線上・同一平面上にある条件
153
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)空間の2点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)~,~\)\({\rm B}(4~,~-1~,~2)\) と \(xy\) 平面上の点 \({\rm P}\) が一直線上にあるとき、
\({\rm P}(\fbox{アイ}~,~\fbox{ウエ}~,~\fbox{オ})\)
\({\small (2)}~\)空間の3点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)~,~\)\({\rm B}(4~,~-1~,~2)~,~\)\({\rm C}(2~,~3~,~4)\) が定める平面 \({\rm ABC}\) 上に点 \({\rm P}(x~,~-5~,~0)\) があるとき、\(x=\fbox{カ}\) である。
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次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)空間の2点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)~,~\)\({\rm B}(4~,~-1~,~2)\) と \(xy\) 平面上の点 \({\rm P}\) が一直線上にあるとき、
\({\rm P}(\fbox{アイ}~,~\fbox{ウエ}~,~\fbox{オ})\)
\({\small (2)}~\)空間の3点 \({\rm A}(1~,~2~,~3)~,~\)\({\rm B}(4~,~-1~,~2)~,~\)\({\rm C}(2~,~3~,~4)\) が定める平面 \({\rm ABC}\) 上に点 \({\rm P}(x~,~-5~,~0)\) があるとき、\(x=\fbox{カ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトル
154｜球面の方程式
154
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)座標空間で中心が \((2~,~-1~,~3)\)、半径が \(\sqrt{\,10\,}\) の球面の方程式は、
\({\small (2)}~\)直径の両端が \({\rm A}(2~,~-1~,~3)~,~\)\({\rm B}(4~,~-5~,~-1)\) である球面は、
中心が \((\fbox{カ}~,~\fbox{キク}~,~\fbox{ケ})\)、半径が \(\fbox{コ}\) の球面である。
問題154｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)座標空間で中心が \((2~,~-1~,~3)\)、半径が \(\sqrt{\,10\,}\) の球面の方程式は、
\((x-\fbox{ア})^2+(y+\fbox{イ})^2+(z-\fbox{ウ})^2=\fbox{エオ}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small (2)}~\)直径の両端が \({\rm A}(2~,~-1~,~3)~,~\)\({\rm B}(4~,~-5~,~-1)\) である球面は、
中心が \((\fbox{カ}~,~\fbox{キク}~,~\fbox{ケ})\)、半径が \(\fbox{コ}\) の球面である。
共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトル
