複素数平面の問題155〜172です。PDFを印刷して解くか、このページで問題を確認して解いてみましょう。解き終わったら、各問題の下の「詳しい解説はこちら→」から、解答と詳しい解説を確認できます。
目次
- 共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
- 155｜複素数の実数倍と一直線の条件
- 156｜共役な複素数と対称な点
- 157｜複素数の絶対値と2点間の距離
- 158｜複素数の絶対値の2乗と式の値
- 159｜複素数の極形式
- 160｜複素数の積と商の極形式
- 161｜複素数の積・商と点の回転
- 162｜複素数の回転移動
- 163｜ド・モアブルの定理
- 164｜方程式の解と極形式
- 165｜1のn乗根とzⁿ-1の因数分解
- 166｜内分点・外分点・重心を表す複素数
- 167｜複素数の方程式が表す図形
- 168｜動点zとω=αz+βの表す図形
- 169｜円上の点と原点との距離の最大・最小
- 170｜複素数の商と2直線のなす角
- 171｜一直線上にある条件と垂直に交わる条件
- 172｜複素数の等式と三角形の形状
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
155｜複素数の実数倍と一直線の条件
155
\(a\) を定数とし、\(\alpha=1-2i~,~\)\(\beta=a+6i\) とする。複素数平面上の3点 \(0~,~\)\(\alpha~,~\)\(\beta\) が一直線上にあるとき、\(a=\fbox{アイ}\) である。
問題155｜詳しい解説はこちら→
\(a\) を定数とし、\(\alpha=1-2i~,~\)\(\beta=a+6i\) とする。複素数平面上の3点 \(0~,~\)\(\alpha~,~\)\(\beta\) が一直線上にあるとき、\(a=\fbox{アイ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
156｜共役な複素数と対称な点
156
複素数 \(z=1-2i\) について、複素数平面上で点 \(z\) と次のものに関して対称な点を表す複素数を求めよ。
\({\small (1)}~\)実軸に関して対称な点は、
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}=\fbox{イ}+\fbox{ウ}\,i\) である。
\({\small (2)}~\)原点に関して対称な点は、
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}=\fbox{オカ}+\fbox{キ}\,i\) である。
\({\small (3)}~\)虚軸に関して対称な点は、
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク}=\fbox{ケコ}-\fbox{サ}\,i\) である。
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク}\) の選択肢：
⓪ \(z\) ① \(\overline{z}\) ② \(-z\) ③ \(-\overline{z}\)
問題156｜詳しい解説はこちら→
複素数 \(z=1-2i\) について、複素数平面上で点 \(z\) と次のものに関して対称な点を表す複素数を求めよ。
\({\small (1)}~\)実軸に関して対称な点は、
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}=\fbox{イ}+\fbox{ウ}\,i\) である。
\({\small (2)}~\)原点に関して対称な点は、
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}=\fbox{オカ}+\fbox{キ}\,i\) である。
\({\small (3)}~\)虚軸に関して対称な点は、
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク}=\fbox{ケコ}-\fbox{サ}\,i\) である。
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ク}\) の選択肢：
⓪ \(z\) ① \(\overline{z}\) ② \(-z\) ③ \(-\overline{z}\)
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
157｜複素数の絶対値と2点間の距離
157
次の複素数の絶対値と、2点間の距離を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(|\,1-2i\,|=\sqrt{\,\fbox{ア}\,}\)
\(\hspace{13pt}\)\(|\,4+3i\,|=\fbox{イ}\)
\(\hspace{13pt}\)\(|\,-1\,|=\fbox{ウ}\)
\(\hspace{13pt}\)\(|\,4i\,|=\fbox{エ}\)
\({\small (2)}~\)複素数平面上の2点 \(\alpha=1-2i~,~\)\(\beta=4+3i\) 間の距離は \(\sqrt{\,\fbox{オカ}\,}\) である。
問題157｜詳しい解説はこちら→
次の複素数の絶対値と、2点間の距離を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(|\,1-2i\,|=\sqrt{\,\fbox{ア}\,}\)
\(\hspace{13pt}\)\(|\,4+3i\,|=\fbox{イ}\)
\(\hspace{13pt}\)\(|\,-1\,|=\fbox{ウ}\)
\(\hspace{13pt}\)\(|\,4i\,|=\fbox{エ}\)
\({\small (2)}~\)複素数平面上の2点 \(\alpha=1-2i~,~\)\(\beta=4+3i\) 間の距離は \(\sqrt{\,\fbox{オカ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
158｜複素数の絶対値の2乗と式の値
158
次の複素数について、それぞれの値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(|\,\alpha\,|=2~,~\)\(|\,\beta\,|=3~,~\)\(|\,\alpha+\beta\,|=4\) のとき、
\(\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta=\fbox{ア}\) であり、
\(|\,\alpha-\beta\,|=\sqrt{\,\fbox{イウ}\,}\) である。
\({\small (2)}~\)\(|\,\gamma\,|=3~,~\)\(|\,\gamma+2\,|=2\) のとき、
\(\gamma+\overline{\gamma}=\displaystyle \frac{\,\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カ}\,}\) である。
問題158｜詳しい解説はこちら→
次の複素数について、それぞれの値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(|\,\alpha\,|=2~,~\)\(|\,\beta\,|=3~,~\)\(|\,\alpha+\beta\,|=4\) のとき、
\(\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta=\fbox{ア}\) であり、
\(|\,\alpha-\beta\,|=\sqrt{\,\fbox{イウ}\,}\) である。
\({\small (2)}~\)\(|\,\gamma\,|=3~,~\)\(|\,\gamma+2\,|=2\) のとき、
\(\gamma+\overline{\gamma}=\displaystyle \frac{\,\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
159｜複素数の極形式
159
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)絶対値 \(6\) 、偏角 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) の複素数は \(\fbox{アイ}\sqrt{\,\fbox{ウ}\,}+\fbox{エ}\,i\) である。
\({\small (2)}~\)次の複素数を極形式で表せ。ただし、偏角 \(\theta\) は \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) とする。
問題159｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)絶対値 \(6\) 、偏角 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) の複素数は \(\fbox{アイ}\sqrt{\,\fbox{ウ}\,}+\fbox{エ}\,i\) である。
\({\small (2)}~\)次の複素数を極形式で表せ。ただし、偏角 \(\theta\) は \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) とする。
\(1+\sqrt{\,3\,}i=\fbox{オ}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{カ}\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{カ}\,}\right)\)
\(-1-i=\sqrt{\,\fbox{キ}\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\pi\right)\)
\(-2i=\fbox{コ}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\pi\right)\)
\(-1-i=\sqrt{\,\fbox{キ}\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\pi\right)\)
\(-2i=\fbox{コ}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\pi\right)\)
※ 数式は横にスクロールできます。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
160｜複素数の積と商の極形式
160
\(\alpha=1+\sqrt{\,3\,}i~,~\)\(\beta=2+2i\) とする。次の複素数を極形式で表せ。
ただし、偏角 \(\theta\) は \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) とする。
問題160｜詳しい解説はこちら→
\(\alpha=1+\sqrt{\,3\,}i~,~\)\(\beta=2+2i\) とする。次の複素数を極形式で表せ。
ただし、偏角 \(\theta\) は \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) とする。
\(\alpha\,\beta=\fbox{ア}\sqrt{\,\fbox{イ}\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エオ}\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エオ}\,}\pi\right)\)
\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,\fbox{カ}\,}\,}{\,\fbox{キ}\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{クケ}\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{クケ}\,}\right)\)
\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,\fbox{カ}\,}\,}{\,\fbox{キ}\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{クケ}\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{クケ}\,}\right)\)
※ 数式は横にスクロールできます。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
161｜複素数の積・商と点の回転
161
複素数平面上の点 \(z\) について、次の点はそれぞれ点 \(z\) をどのように移動した点かを答えよ。ただし、回転する角 \(\theta\) は \(-\pi \lt \theta{\small ~≦~}\pi\) とする。
\({\small (1)}~\)点 \((1+\sqrt{\,3\,}i)z\) は、
点 \(z\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{ア}\,}\) だけ回転し、
原点からの距離を \(\fbox{イ}\) 倍にした点である。
\({\small (2)}~\)点 \((3-\sqrt{\,3\,}i)z\) は、
点 \(z\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ウエ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\pi\) だけ回転し、
原点からの距離を \(\fbox{カ}\sqrt{\,\fbox{キ}\,}\) 倍にした点である。
\({\small (3)}~\)点 \(\displaystyle \frac{\,z\,}{\,i\,}\) は、
点 \(z\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\pi\) だけ回転した点である。
問題161｜詳しい解説はこちら→
複素数平面上の点 \(z\) について、次の点はそれぞれ点 \(z\) をどのように移動した点かを答えよ。ただし、回転する角 \(\theta\) は \(-\pi \lt \theta{\small ~≦~}\pi\) とする。
\({\small (1)}~\)点 \((1+\sqrt{\,3\,}i)z\) は、
点 \(z\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{ア}\,}\) だけ回転し、
原点からの距離を \(\fbox{イ}\) 倍にした点である。
\({\small (2)}~\)点 \((3-\sqrt{\,3\,}i)z\) は、
点 \(z\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ウエ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\pi\) だけ回転し、
原点からの距離を \(\fbox{カ}\sqrt{\,\fbox{キ}\,}\) 倍にした点である。
\({\small (3)}~\)点 \(\displaystyle \frac{\,z\,}{\,i\,}\) は、
点 \(z\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\pi\) だけ回転した点である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
162｜複素数の回転移動
162
次の点を表す複素数を求めよ。
\({\small (1)}~\)点 \(1+\sqrt{\,3\,}i\) を原点 \({\rm O}\) を中心に
\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) だけ回転させた点は \(\fbox{ア}\,i\) であり、
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) だけ回転させた点は \(\sqrt{\,\fbox{イ}\,}-i\) である。
\({\small (2)}~\)\(\alpha=2-3i~,~\)\(\beta=1+4i\) とする。点 \(\beta\) を点 \(\alpha\) を中心として \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) だけ回転した点を表す複素数を \(\gamma\) とすると、\(\gamma=\fbox{ウエ}-\fbox{オ}\,i\) である。
問題162｜詳しい解説はこちら→
次の点を表す複素数を求めよ。
\({\small (1)}~\)点 \(1+\sqrt{\,3\,}i\) を原点 \({\rm O}\) を中心に
\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) だけ回転させた点は \(\fbox{ア}\,i\) であり、
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) だけ回転させた点は \(\sqrt{\,\fbox{イ}\,}-i\) である。
\({\small (2)}~\)\(\alpha=2-3i~,~\)\(\beta=1+4i\) とする。点 \(\beta\) を点 \(\alpha\) を中心として \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) だけ回転した点を表す複素数を \(\gamma\) とすると、\(\gamma=\fbox{ウエ}-\fbox{オ}\,i\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
163｜ド・モアブルの定理
163
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\((1+\sqrt{\,3\,}i)^9=\fbox{アイウエ}\)
\({\small (2)}~\)\((2-2i)^5=\fbox{オカキク}+\fbox{ケコサ}\,i\)
\({\small (3)}~\)\((1+i)^n\) が実数となる最小の自然数 \(n\) は \(n=\fbox{シ}\) である。
\({\small (4)}~\)\((\sqrt{\,3\,}-i)^n\) が純虚数となる最小の自然数 \(n\) は \(n=\fbox{ス}\) である。
問題163｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\((1+\sqrt{\,3\,}i)^9=\fbox{アイウエ}\)
\({\small (2)}~\)\((2-2i)^5=\fbox{オカキク}+\fbox{ケコサ}\,i\)
\({\small (3)}~\)\((1+i)^n\) が実数となる最小の自然数 \(n\) は \(n=\fbox{シ}\) である。
\({\small (4)}~\)\((\sqrt{\,3\,}-i)^n\) が純虚数となる最小の自然数 \(n\) は \(n=\fbox{ス}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
164｜方程式の解と極形式
164
方程式 \(z^3=8i\) の解は、
\(z=\sqrt{\,\fbox{ア}\,}+i~,~\)\(\fbox{イ}\sqrt{\,\fbox{ウ}\,}+i~,~\)\(\fbox{エオ}\,i\) である。
問題164｜詳しい解説はこちら→
方程式 \(z^3=8i\) の解は、
\(z=\sqrt{\,\fbox{ア}\,}+i~,~\)\(\fbox{イ}\sqrt{\,\fbox{ウ}\,}+i~,~\)\(\fbox{エオ}\,i\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
165｜1のn乗根とzⁿ-1の因数分解
165
\(z=\cos \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi\) のとき、
\(z^5=\fbox{ア}\) であり、\(z^5-\fbox{ア}=0\) として左辺を因数分解すると、
\((z-\fbox{イ})(z^4+z^3+z^2+z+\fbox{ウ})=0\)
これより、\(z\ne1\) であるから、
\(z^4+z^3+z^2+z+1=\fbox{エ}\) である。
問題165｜詳しい解説はこちら→
\(z=\cos \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi\) のとき、
\(z^5=\fbox{ア}\) であり、\(z^5-\fbox{ア}=0\) として左辺を因数分解すると、
\((z-\fbox{イ})(z^4+z^3+z^2+z+\fbox{ウ})=0\)
これより、\(z\ne1\) であるから、
\(z^4+z^3+z^2+z+1=\fbox{エ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
166｜内分点・外分点・重心を表す複素数
166
複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm A}(2-3i)~,~\)\({\rm B}(1+4i)~,~\)\({\rm C}(3+2i)\) について、次の点を表す複素数は、
線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に内分する点 \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}-\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}i\)
線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に外分する点 \(\fbox{オ}-\fbox{カキ}\,i\)
\(3\) 点を頂点とする三角形の重心 \({\rm G}\) \(\fbox{ク}+i\)
問題166｜詳しい解説はこちら→
複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm A}(2-3i)~,~\)\({\rm B}(1+4i)~,~\)\({\rm C}(3+2i)\) について、次の点を表す複素数は、
線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に内分する点 \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}-\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}i\)
線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に外分する点 \(\fbox{オ}-\fbox{カキ}\,i\)
\(3\) 点を頂点とする三角形の重心 \({\rm G}\) \(\fbox{ク}+i\)
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
167｜複素数の方程式が表す図形
167
次の方程式を満たす点 \(z\) 全体の集合は、どのような図形を表すか。
\({\small (1)}~\)\(|\,z+2-3i\,|=1\) は、
点 \(\fbox{アイ}+\fbox{ウ}\,i\) を中心とする半径 \(\fbox{エ}\) の円を表す。
\({\small (2)}~\)\((z-i)(\overline{z}+i)=4\) は、
\(|\,z-i\,|^2=\fbox{オ}\) と変形できるから、点 \(i\) を中心とする半径 \(\fbox{カ}\) の円を表す。
\({\small (3)}~\)\(|\,z+2-3i\,|=|\,z+i\,|\) は、
\(2\) 点 \({\rm A}(\fbox{キク}+\fbox{ケ}\,i)~,~\)\({\rm B}(\fbox{コ}\,i)\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の垂直二等分線を表す。
\({\small (4)}~\)\(2|\,z-i\,|=|\,z+2i\,|\) は、
点 \(\fbox{サ}\,i\) を中心とする半径 \(\fbox{シ}\) の円を表す。
問題167｜詳しい解説はこちら→
次の方程式を満たす点 \(z\) 全体の集合は、どのような図形を表すか。
\({\small (1)}~\)\(|\,z+2-3i\,|=1\) は、
点 \(\fbox{アイ}+\fbox{ウ}\,i\) を中心とする半径 \(\fbox{エ}\) の円を表す。
\({\small (2)}~\)\((z-i)(\overline{z}+i)=4\) は、
\(|\,z-i\,|^2=\fbox{オ}\) と変形できるから、点 \(i\) を中心とする半径 \(\fbox{カ}\) の円を表す。
\({\small (3)}~\)\(|\,z+2-3i\,|=|\,z+i\,|\) は、
\(2\) 点 \({\rm A}(\fbox{キク}+\fbox{ケ}\,i)~,~\)\({\rm B}(\fbox{コ}\,i)\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の垂直二等分線を表す。
\({\small (4)}~\)\(2|\,z-i\,|=|\,z+2i\,|\) は、
点 \(\fbox{サ}\,i\) を中心とする半径 \(\fbox{シ}\) の円を表す。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
168｜動点zとω=αz+βの表す図形
168
\(\omega=2+iz\) として、点 \(z\) が原点 \({\rm O}\) を中心とする半径 \(1\) の円上を動くとき、
\(|\,z\,|=\fbox{ア}\) であるので、\(|\,\omega-\fbox{イ}\,|=\fbox{ウ}\)
したがって、点 \(\omega\) は、点 \(\fbox{エ}\) を中心とする半径 \(\fbox{オ}\) の円を描く。
問題168｜詳しい解説はこちら→
\(\omega=2+iz\) として、点 \(z\) が原点 \({\rm O}\) を中心とする半径 \(1\) の円上を動くとき、
\(|\,z\,|=\fbox{ア}\) であるので、\(|\,\omega-\fbox{イ}\,|=\fbox{ウ}\)
したがって、点 \(\omega\) は、点 \(\fbox{エ}\) を中心とする半径 \(\fbox{オ}\) の円を描く。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
169｜円上の点と原点との距離の最大・最小
169
\(|\,z-(4+3i)\,|=2\) を満たす点 \(z\) は、
点 \(\fbox{ア}+\fbox{イ}\,i\) を中心とする半径 \(\fbox{ウ}\) の円を描く。
また、原点 \({\rm O}\) と点 \(4+3i\) との距離は \(\fbox{エ}\) であるので、\(|\,z\,|\) は最大値 \(\fbox{オ}\)、最小値 \(\fbox{カ}\) をとる。
問題169｜詳しい解説はこちら→
\(|\,z-(4+3i)\,|=2\) を満たす点 \(z\) は、
点 \(\fbox{ア}+\fbox{イ}\,i\) を中心とする半径 \(\fbox{ウ}\) の円を描く。
また、原点 \({\rm O}\) と点 \(4+3i\) との距離は \(\fbox{エ}\) であるので、\(|\,z\,|\) は最大値 \(\fbox{オ}\)、最小値 \(\fbox{カ}\) をとる。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
170｜複素数の商と2直線のなす角
170
\(\alpha=1+i~,~\)\(\beta=3-2i~,~\)\(\gamma=2+6i\) であるとき、
\(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=\fbox{アイ}+i\) である。
これより、\(-\pi \lt \angle \beta\alpha\gamma{\small ~≦~}\pi\) とするとき、
\(\angle \beta\alpha\gamma=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\pi\) である。
問題170｜詳しい解説はこちら→
\(\alpha=1+i~,~\)\(\beta=3-2i~,~\)\(\gamma=2+6i\) であるとき、
\(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=\fbox{アイ}+i\) である。
これより、\(-\pi \lt \angle \beta\alpha\gamma{\small ~≦~}\pi\) とするとき、
\(\angle \beta\alpha\gamma=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\pi\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
171｜一直線上にある条件と垂直に交わる条件
171
\(x\) を実数とし、\(3\) 点 \({\rm A}(1+i)~,~\)\({\rm B}(3-2i)~,~\)\({\rm C}(x+2i)\) をとり、\(\alpha=1+i~,~\)\(\beta=3-2i~,~\)\(\gamma=x+2i\) とすると、
\(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,x-\fbox{イ}\,}{\,\fbox{ウエ}\,}+\displaystyle \frac{\,\fbox{オ}\,x-\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キク}\,}i\)
よって、\(3\) 点 \({\rm A}~,~\)\({\rm B}~,~\)\({\rm C}\) が一直線上にあるとき \(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\) である。
また、\(2\) 直線 \({\rm AB}\) と \({\rm AC}\) が垂直に交わるとき \(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\) である。
問題171｜詳しい解説はこちら→
\(x\) を実数とし、\(3\) 点 \({\rm A}(1+i)~,~\)\({\rm B}(3-2i)~,~\)\({\rm C}(x+2i)\) をとり、\(\alpha=1+i~,~\)\(\beta=3-2i~,~\)\(\gamma=x+2i\) とすると、
\(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,x-\fbox{イ}\,}{\,\fbox{ウエ}\,}+\displaystyle \frac{\,\fbox{オ}\,x-\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キク}\,}i\)
よって、\(3\) 点 \({\rm A}~,~\)\({\rm B}~,~\)\({\rm C}\) が一直線上にあるとき \(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{ケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\) である。
また、\(2\) 直線 \({\rm AB}\) と \({\rm AC}\) が垂直に交わるとき \(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
172｜複素数の等式と三角形の形状
172
複素数平面上の三角形の形状について考える。
\({\small (1)}~\)異なる \(3\) 点 \({\rm A}(\alpha)~,~\)\({\rm B}(\beta)~,~\)\({\rm C}(\gamma)\) が
\(\gamma=(1+\sqrt{\,3\,}i)\beta-\sqrt{\,3\,}i\alpha\) を満たすとき、
\(\gamma-\alpha=(\fbox{ア}+\sqrt{\,\fbox{イ}\,}\,i)(\beta-\alpha)\) と変形できるので、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\,\right|=\fbox{ウ}~,~\)\(\arg \displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{エ}\,}\)
よって、\({\rm AB}:{\rm AC}:{\rm BC}=1:\fbox{オ}:\sqrt{\,\fbox{カ}\,}\) となり、\(\triangle {\rm ABC}\) は \(\angle {\rm B}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{キ}\,}\) の直角三角形である。
\({\small (2)}~\)\(0\) でない複素数 \(\alpha~,~\beta\) について、
\(3\) 点 \({\rm O}(0)~,~\)\({\rm A}(\alpha)~,~\)\({\rm B}(\beta)\) を頂点とする三角形 \({\rm OAB}\) が \(\angle {\rm AOB}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,{\rm OA}\,}{\,{\rm OB}\,}=\sqrt{\,2\,}\) を満たすとき、
\(\alpha^2-\fbox{ク}\,\alpha\beta+\fbox{ケ}\,\beta^2=0\)
が成り立つ。
問題172｜詳しい解説はこちら→
複素数平面上の三角形の形状について考える。
\({\small (1)}~\)異なる \(3\) 点 \({\rm A}(\alpha)~,~\)\({\rm B}(\beta)~,~\)\({\rm C}(\gamma)\) が
\(\gamma=(1+\sqrt{\,3\,}i)\beta-\sqrt{\,3\,}i\alpha\) を満たすとき、
\(\gamma-\alpha=(\fbox{ア}+\sqrt{\,\fbox{イ}\,}\,i)(\beta-\alpha)\) と変形できるので、
\(\left|\,\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}\,\right|=\fbox{ウ}~,~\)\(\arg \displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{エ}\,}\)
よって、\({\rm AB}:{\rm AC}:{\rm BC}=1:\fbox{オ}:\sqrt{\,\fbox{カ}\,}\) となり、\(\triangle {\rm ABC}\) は \(\angle {\rm B}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{キ}\,}\) の直角三角形である。
\({\small (2)}~\)\(0\) でない複素数 \(\alpha~,~\beta\) について、
\(3\) 点 \({\rm O}(0)~,~\)\({\rm A}(\alpha)~,~\)\({\rm B}(\beta)\) を頂点とする三角形 \({\rm OAB}\) が \(\angle {\rm AOB}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,{\rm OA}\,}{\,{\rm OB}\,}=\sqrt{\,2\,}\) を満たすとき、
\(\alpha^2-\fbox{ク}\,\alpha\beta+\fbox{ケ}\,\beta^2=0\)
が成り立つ。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
