数学C｜複素数平面｜問題一覧 ＞ 問題解説 161
161｜複素数の積・商と点の回転
161
複素数平面上の点 \(z\) について、次の点はそれぞれ点 \(z\) をどのように移動した点かを答えよ。ただし、回転する角 \(\theta\) は \(-\pi \lt \theta{\small ~≦~}\pi\) とする。
\({\small (1)}~\)点 \((1+\sqrt{\,3\,}i)z\) は、
点 \(z\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{ア}\,}\) だけ回転し、
原点からの距離を \(\fbox{イ}\) 倍にした点である。
\({\small (2)}~\)点 \((3-\sqrt{\,3\,}i)z\) は、
点 \(z\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ウエ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\pi\) だけ回転し、
原点からの距離を \(\fbox{カ}\sqrt{\,\fbox{キ}\,}\) 倍にした点である。
\({\small (3)}~\)点 \(\displaystyle \frac{\,z\,}{\,i\,}\) は、
点 \(z\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\pi\) だけ回転した点である。
複素数平面上の点 \(z\) について、次の点はそれぞれ点 \(z\) をどのように移動した点かを答えよ。ただし、回転する角 \(\theta\) は \(-\pi \lt \theta{\small ~≦~}\pi\) とする。
\({\small (1)}~\)点 \((1+\sqrt{\,3\,}i)z\) は、
点 \(z\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{ア}\,}\) だけ回転し、
原点からの距離を \(\fbox{イ}\) 倍にした点である。
\({\small (2)}~\)点 \((3-\sqrt{\,3\,}i)z\) は、
点 \(z\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ウエ}\,}{\,\fbox{オ}\,}\pi\) だけ回転し、
原点からの距離を \(\fbox{カ}\sqrt{\,\fbox{キ}\,}\) 倍にした点である。
\({\small (3)}~\)点 \(\displaystyle \frac{\,z\,}{\,i\,}\) は、
点 \(z\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\pi\) だけ回転した点である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
161 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) だけ回転し、原点からの距離を \(2\) 倍にした点
\({\small (2)}~\)原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,6\,}\pi\) だけ回転し、原点からの距離を \(2\sqrt{\,3\,}\) 倍にした点
\({\small (3)}~\)原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,2\,}\pi\) だけ回転した点
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)点 \((1+\sqrt{\,3\,}i)z\) より、\(1+\sqrt{\,3\,}i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,1+\sqrt{\,3\,}i\,|&=&\sqrt{\,1^2+(\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、偏角は \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
よって、
\(1+\sqrt{\,3\,}i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\)
これより、点 \((1+\sqrt{\,3\,}i)z\) は、点 \(z\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) だけ回転し、原点からの距離を \(2\) 倍にした点となる
\({\small (2)}~\)点 \((3-\sqrt{\,3\,}i)z\) より、\(3-\sqrt{\,3\,}i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,3-\sqrt{\,3\,}i\,|&=&\sqrt{\,3^2+(-\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,12\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\sqrt{\,3\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}~,~\)\(\sin \theta=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\sqrt{\,3\,}\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、偏角は \(\theta=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
よって、
\(3-\sqrt{\,3\,}i=2\sqrt{\,3\,}\left\{\cos\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)+i\sin\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\right\}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、点 \((3-\sqrt{\,3\,}i)z\) は、点 \(z\) を原点を中心に \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) だけ回転し、原点からの距離を \(2\sqrt{\,3\,}\) 倍にした点となる
\({\small (3)}~\)点 \(\displaystyle \frac{\,z\,}{\,i\,}\) より、\(i\) の絶対値は、\(|\,i\,|=1\) で、
\(\cos \theta=0~,~\sin \theta=1\) より、偏角は \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
よって、
\(i=\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
これより、点 \(\displaystyle \frac{\,z\,}{\,i\,}\) は、点 \(z\) を原点を中心に \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) だけ回転した点となる
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