数学C｜複素数平面｜問題一覧 ＞ 問題解説 166
166｜内分点・外分点・重心を表す複素数
166
複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm A}(2-3i)~,~\)\({\rm B}(1+4i)~,~\)\({\rm C}(3+2i)\) について、次の点を表す複素数は、
線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に内分する点 \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}-\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}i\)
線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に外分する点 \(\fbox{オ}-\fbox{カキ}\,i\)
\(3\) 点を頂点とする三角形の重心 \({\rm G}\) \(\fbox{ク}+i\)
複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm A}(2-3i)~,~\)\({\rm B}(1+4i)~,~\)\({\rm C}(3+2i)\) について、次の点を表す複素数は、
線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に内分する点 \(\displaystyle \frac{\,\fbox{ア}\,}{\,\fbox{イ}\,}-\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}i\)
線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に外分する点 \(\fbox{オ}-\fbox{カキ}\,i\)
\(3\) 点を頂点とする三角形の重心 \({\rm G}\) \(\fbox{ク}+i\)
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
166 数学ⅡBC【解答】
内分する点 \(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}i\)
外分する点 \(4-17i\)
重心 \({\rm G}\) \(2+i\)
【より詳しい解説】
線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に内分する点は、
内分点の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,3(2-3i)+2(1+4i)\,}{\,2+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6-9i+2+8i\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8-i\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}i\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}i\) となる
線分 \({\rm AB}\) を \(2:3\) に外分する点は、
外分点の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,3(2-3i)-2(1+4i)\,}{\,-2+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6-9i-2-8i\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&4-17i\end{eqnarray}\)
したがって、\(4-17i\) となる
三角形 \({\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\)は、
重心の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,(2-3i)+(1+4i)+(3+2i)\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(2+1+3)+(-3+4+2)i\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6+3i\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&2+i\end{eqnarray}\)
したがって、\(2+i\) となる
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