数学C｜複素数平面｜問題一覧 ＞ 問題解説 159
159｜複素数の極形式
159
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)絶対値 \(6\) 、偏角 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) の複素数は \(\fbox{アイ}\sqrt{\,\fbox{ウ}\,}+\fbox{エ}\,i\) である。
\({\small (2)}~\)次の複素数を極形式で表せ。ただし、偏角 \(\theta\) は \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) とする。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)絶対値 \(6\) 、偏角 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) の複素数は \(\fbox{アイ}\sqrt{\,\fbox{ウ}\,}+\fbox{エ}\,i\) である。
\({\small (2)}~\)次の複素数を極形式で表せ。ただし、偏角 \(\theta\) は \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) とする。
\(1+\sqrt{\,3\,}i=\fbox{オ}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{カ}\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{カ}\,}\right)\)
\(-1-i=\sqrt{\,\fbox{キ}\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\pi\right)\)
\(-2i=\fbox{コ}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\pi\right)\)
\(-1-i=\sqrt{\,\fbox{キ}\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,\fbox{ク}\,}{\,\fbox{ケ}\,}\pi\right)\)
\(-2i=\fbox{コ}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,\fbox{サ}\,}{\,\fbox{シ}\,}\pi\right)\)
※ 数式は横にスクロールできます。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
159 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(-3\sqrt{\,3\,}+3i\)
\({\small (2)}~\)\(1+\sqrt{\,3\,}i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\)
\(\hspace{13pt}\)\(-1-i=\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)\)
\(\hspace{13pt}\)\(-2i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\right)\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)絶対値 \(6\) 、偏角 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&6\left(\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&6\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+i \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-3\sqrt{\,3\,}+3i\end{eqnarray}\)
したがって、\(-3\sqrt{\,3\,}+3i\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\sqrt{\,1^2+(\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
偏角 \(\theta~(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi)\) は、
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) となる
したがって、\(1+\sqrt{\,3\,}i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\sqrt{\,(-1)^2+(-1)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
偏角 \(\theta~(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi)\) は、
\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}~,~\sin \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\) となる
したがって、\(-1-i=\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)\) となる
絶対値は \(2\) 、偏角は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) となる
したがって、\(-2i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\right)\) となる
\({\small (1)}~\)\(-3\sqrt{\,3\,}+3i\)
\({\small (2)}~\)\(1+\sqrt{\,3\,}i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\)
\(\hspace{13pt}\)\(-1-i=\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)\)
\(\hspace{13pt}\)\(-2i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\right)\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)絶対値 \(6\) 、偏角 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&6\left(\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&6\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+i \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-3\sqrt{\,3\,}+3i\end{eqnarray}\)
したがって、\(-3\sqrt{\,3\,}+3i\) となる
\({\small (2)}~\)\(1+\sqrt{\,3\,}i\) より、絶対値 \(r\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\sqrt{\,1^2+(\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
偏角 \(\theta~(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi)\) は、
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) となる
したがって、\(1+\sqrt{\,3\,}i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) となる
\(-1-i\) より、絶対値 \(r\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\sqrt{\,(-1)^2+(-1)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
偏角 \(\theta~(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi)\) は、
\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}~,~\sin \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\) となる
したがって、\(-1-i=\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)\) となる
\(-2i\) より、
絶対値は \(2\) 、偏角は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) となる
したがって、\(-2i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\right)\) となる
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