数学C｜複素数平面｜問題一覧 ＞ 問題解説 170
170｜複素数の商と2直線のなす角
170
\(\alpha=1+i~,~\)\(\beta=3-2i~,~\)\(\gamma=2+6i\) であるとき、
\(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=\fbox{アイ}+i\) である。
これより、\(-\pi \lt \angle \beta\alpha\gamma{\small ~≦~}\pi\) とするとき、
\(\angle \beta\alpha\gamma=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\pi\) である。
\(\alpha=1+i~,~\)\(\beta=3-2i~,~\)\(\gamma=2+6i\) であるとき、
\(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=\fbox{アイ}+i\) である。
これより、\(-\pi \lt \angle \beta\alpha\gamma{\small ~≦~}\pi\) とするとき、
\(\angle \beta\alpha\gamma=\displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エ}\,}\pi\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
170 数学ⅡBC【解答】
\(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=-1+i\)
\(\angle \beta\alpha\gamma=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\)
【より詳しい解説】
\(\alpha=1+i~,~\beta=3-2i~,~\gamma=2+6i\) より、\(-\pi \lt \angle \beta\alpha\gamma{\small ~≦~}\pi\) の範囲で考えると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}&=&\displaystyle \frac{\,(2+6i)-(1+i)\,}{\,(3-2i)-(1+i)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+6i-1-i\,}{\,3-2i-1-i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+5i\,}{\,2-3i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(1+5i)(2+3i)\,}{\,(2-3i)(2+3i)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+3i+10i+15i^2\,}{\,4-9i^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-15+13i\,}{\,4+9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-13+13i\,}{\,13\,}
\\[5pt]~~~&=&-1+i\end{eqnarray}\)
ここで、\(-1+i\) を極形式で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,-1+i\,|&=&\sqrt{\,(-1)^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、\(\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\)
よって、
\(\displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}=\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle \beta\alpha\gamma&=&\arg \displaystyle \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、\(\angle \beta\alpha\gamma=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) となる
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