数学C｜複素数平面｜問題一覧 ＞ 問題解説 169
169｜円上の点と原点との距離の最大・最小
169
\(|\,z-(4+3i)\,|=2\) を満たす点 \(z\) は、
点 \(\fbox{ア}+\fbox{イ}\,i\) を中心とする半径 \(\fbox{ウ}\) の円を描く。
また、原点 \({\rm O}\) と点 \(4+3i\) との距離は \(\fbox{エ}\) であるので、\(|\,z\,|\) は最大値 \(\fbox{オ}\)、最小値 \(\fbox{カ}\) をとる。
\(|\,z-(4+3i)\,|=2\) を満たす点 \(z\) は、
点 \(\fbox{ア}+\fbox{イ}\,i\) を中心とする半径 \(\fbox{ウ}\) の円を描く。
また、原点 \({\rm O}\) と点 \(4+3i\) との距離は \(\fbox{エ}\) であるので、\(|\,z\,|\) は最大値 \(\fbox{オ}\)、最小値 \(\fbox{カ}\) をとる。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
169 数学ⅡBC【解答】
点 \(4+3i\) を中心とする半径 \(2\) の円
原点 \({\rm O}\) と点 \(4+3i\) との距離 \(5\)
最大値 \(7\)、最小値 \(3\)
【より詳しい解説】
方程式 \(|\,z-(4+3i)\,|=2\) は、点 \(4+3i\) を中心、半径 \(2\) の円を表す
\(|\,z\,|\) は、原点 \({\rm O}\) と円上の点 \(z\) との距離を表すので、
原点 \({\rm O}\) と円の中心 \({\rm C}(4+3i)\) との距離を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OC}&=&|\,4+3i\,|
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4^2+3^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,25\,}
\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
\(|\,z\,|\) が最大となるのは、中心 \({\rm C}\) から見て原点 \({\rm O}\) の反対側の点なので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OC}+2&=&5+2
\\[3pt]~~~&=&7\end{eqnarray}\)
\(|\,z\,|\) が最小となるのは、中心 \({\rm C}\) から見て原点 \({\rm O}\) の側の点なので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OC}-2&=&5-2
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\(|\,z\,|\) は最大値 \(7\)、最小値 \(3\) をとる
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