２次曲線の問題173〜188です。PDFを印刷して解くか、このページで問題を確認して解いてみましょう。解き終わったら、各問題の下の「詳しい解説はこちら→」から、解答と詳しい解説を確認できます。
目次
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
173｜放物線の定義と焦点・準線
173
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)放物線 \(y^2=8x\) の
\(\hspace{13pt}\)焦点は点 \((\fbox{ア}~,~\fbox{イ})\) 、
\(\hspace{13pt}\)準線は直線 \(x=\fbox{ウエ}\) である。
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=x^2\) の
\(\hspace{13pt}\)焦点は点 \(\left(\fbox{オ}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キ}\,}\right)\) 、
\(\hspace{13pt}\)準線は直線 \(y=\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)点 \((-3~,~0)\) からの距離と、直線 \(x=3\) からの距離が等しい点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、放物線 \(y^2=\fbox{サシ}\,x\) である。
\({\small (4)}~\)焦点が \((0~,~-2)\) 、準線が直線 \(y=2\) である放物線の方程式は \(x^2=\fbox{スセ}\,y\) である。
問題173｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)放物線 \(y^2=8x\) の
\(\hspace{13pt}\)焦点は点 \((\fbox{ア}~,~\fbox{イ})\) 、
\(\hspace{13pt}\)準線は直線 \(x=\fbox{ウエ}\) である。
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=x^2\) の
\(\hspace{13pt}\)焦点は点 \(\left(\fbox{オ}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キ}\,}\right)\) 、
\(\hspace{13pt}\)準線は直線 \(y=\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)点 \((-3~,~0)\) からの距離と、直線 \(x=3\) からの距離が等しい点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、放物線 \(y^2=\fbox{サシ}\,x\) である。
\({\small (4)}~\)焦点が \((0~,~-2)\) 、準線が直線 \(y=2\) である放物線の方程式は \(x^2=\fbox{スセ}\,y\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
174｜楕円の定義と焦点・長軸
174
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) の
\(\hspace{13pt}\)長軸の長さは \(\fbox{アイ}\) 、
\(\hspace{13pt}\)短軸の長さは \(\fbox{ウ}\) であり、
\(\hspace{13pt}\)焦点は \(2\) 点 \((\fbox{エ}~,~\fbox{オ})~,~\)\((\fbox{カキ}~,~\fbox{ク})\)
である。
\({\small (2)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,25\,}=1\) の焦点は
\(\hspace{13pt}\)\(2\) 点 \((\fbox{ケ}~,~\fbox{コ})~,~\)\((\fbox{サ}~,~\fbox{シス})\) である。
\({\small (3)}~\)\(2\) 点 \((3~,~0)~,~\)\((-3~,~0)\) からの距離の和が \(10\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{セソ}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{タチ}\,}=1\) である。
問題174｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) の
\(\hspace{13pt}\)長軸の長さは \(\fbox{アイ}\) 、
\(\hspace{13pt}\)短軸の長さは \(\fbox{ウ}\) であり、
\(\hspace{13pt}\)焦点は \(2\) 点 \((\fbox{エ}~,~\fbox{オ})~,~\)\((\fbox{カキ}~,~\fbox{ク})\)
である。
\({\small (2)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,25\,}=1\) の焦点は
\(\hspace{13pt}\)\(2\) 点 \((\fbox{ケ}~,~\fbox{コ})~,~\)\((\fbox{サ}~,~\fbox{シス})\) である。
\({\small (3)}~\)\(2\) 点 \((3~,~0)~,~\)\((-3~,~0)\) からの距離の和が \(10\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{セソ}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{タチ}\,}=1\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
175｜円と楕円の関係
175
円 \(x^2+y^2=9\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)この円を \(x\) 軸をもとにして \(y\) 軸方向に \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) 倍に縮小して得られる曲線は、
\(\hspace{13pt}\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ア}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{イ}\,}=1\) である。
\({\small (2)}~\)この円を \(y\) 軸をもとにして \(x\) 軸方向に \(2\) 倍に拡大して得られる曲線は、
\(\hspace{13pt}\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ウエ}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{オ}\,}=1\) である。
問題175｜詳しい解説はこちら→
円 \(x^2+y^2=9\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)この円を \(x\) 軸をもとにして \(y\) 軸方向に \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) 倍に縮小して得られる曲線は、
\(\hspace{13pt}\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ア}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{イ}\,}=1\) である。
\({\small (2)}~\)この円を \(y\) 軸をもとにして \(x\) 軸方向に \(2\) 倍に拡大して得られる曲線は、
\(\hspace{13pt}\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ウエ}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{オ}\,}=1\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
176｜双曲線の定義と焦点・漸近線
176
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) の
\(\hspace{13pt}\)焦点は \(2\) 点 \((\sqrt{\,\fbox{アイ}\,}~,~\fbox{ウ})~,~\)\((\fbox{エ}\sqrt{\,\fbox{オカ}\,}~,~\fbox{キ})\) 、
\(\hspace{13pt}\)頂点は \(2\) 点 \((\fbox{ク}~,~\fbox{ケ})~,~\)\((\fbox{コサ}~,~\fbox{シ})\) であり、
\(\hspace{13pt}\)漸近線は \(2\) 直線 \(y=\pm\displaystyle \frac{\,\fbox{ス}\,}{\,\fbox{セ}\,}x\) である。
\({\small (2)}~\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=-1\) の
\(\hspace{13pt}\)焦点は \(2\) 点 \((\fbox{ソ}~,~\fbox{タ})~,~\)\((\fbox{チ}~,~\fbox{ツテ})\) 、
頂点は \(2\) 点 \((\fbox{ト}~,~\fbox{ナ})~,~\)\((\fbox{ニ}~,~\fbox{ヌネ})\) であり、
\(\hspace{13pt}\)漸近線は \(2\) 直線 \(y=\pm\displaystyle \frac{\,\fbox{ノ}\,}{\,\fbox{ハ}\,}x\) である。
\({\small (3)}~\)\(2\) 点 \((5~,~0)~,~\)\((-5~,~0)\) からの距離の差が \(8\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ヒフ}\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{ヘ}\,}=1\) である。
\({\small (4)}~\)\(2\) 点 \((4~,~0)~,~\)\((-4~,~0)\) を焦点とする直角双曲線の方程式は \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ホ}\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{マ}\,}=1\) であり、
\(2\) 点 \((0~,~3)~,~\)\((0~,~-3)\) を頂点とする直角双曲線の方程式は \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ミ}\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{ム}\,}=-1\) である。
問題176｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) の
\(\hspace{13pt}\)焦点は \(2\) 点 \((\sqrt{\,\fbox{アイ}\,}~,~\fbox{ウ})~,~\)\((\fbox{エ}\sqrt{\,\fbox{オカ}\,}~,~\fbox{キ})\) 、
\(\hspace{13pt}\)頂点は \(2\) 点 \((\fbox{ク}~,~\fbox{ケ})~,~\)\((\fbox{コサ}~,~\fbox{シ})\) であり、
\(\hspace{13pt}\)漸近線は \(2\) 直線 \(y=\pm\displaystyle \frac{\,\fbox{ス}\,}{\,\fbox{セ}\,}x\) である。
\({\small (2)}~\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=-1\) の
\(\hspace{13pt}\)焦点は \(2\) 点 \((\fbox{ソ}~,~\fbox{タ})~,~\)\((\fbox{チ}~,~\fbox{ツテ})\) 、
頂点は \(2\) 点 \((\fbox{ト}~,~\fbox{ナ})~,~\)\((\fbox{ニ}~,~\fbox{ヌネ})\) であり、
\(\hspace{13pt}\)漸近線は \(2\) 直線 \(y=\pm\displaystyle \frac{\,\fbox{ノ}\,}{\,\fbox{ハ}\,}x\) である。
\({\small (3)}~\)\(2\) 点 \((5~,~0)~,~\)\((-5~,~0)\) からの距離の差が \(8\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ヒフ}\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{ヘ}\,}=1\) である。
\({\small (4)}~\)\(2\) 点 \((4~,~0)~,~\)\((-4~,~0)\) を焦点とする直角双曲線の方程式は \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ホ}\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{マ}\,}=1\) であり、
\(2\) 点 \((0~,~3)~,~\)\((0~,~-3)\) を頂点とする直角双曲線の方程式は \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ミ}\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{ム}\,}=-1\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
177｜平行移動した２次曲線の方程式
177
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)放物線 \(y^2=4x\) の焦点は \((\fbox{ア}~,~0)\) であり、\(x\) 軸方向に \(1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) だけ平行移動すると、
\(\hspace{13pt}\)\((y+\fbox{イ})^2=\fbox{ウ}(x-\fbox{エ})\) であり、
焦点は \((\fbox{オ}~,~\fbox{カキ})\) である。
\({\small (2)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,7\,}=1\) の焦点は \((\fbox{ク}~,~0)~,~\)\((\fbox{ケコ}~,~0)\) であり、\(x\) 軸方向に \(-3\) 、\(y\) 軸方向に \(1\) だけ平行移動すると、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x+\fbox{サ})^2\,}{\,\fbox{シス}\,}+\displaystyle \frac{\,(y-\fbox{セ})^2\,}{\,\fbox{ソ}\,}=1\) であり、
焦点は \((\fbox{タ}~,~\fbox{チ})~,~\)\((\fbox{ツテ}~,~\fbox{ト})\) である。
問題177｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)放物線 \(y^2=4x\) の焦点は \((\fbox{ア}~,~0)\) であり、\(x\) 軸方向に \(1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) だけ平行移動すると、
\(\hspace{13pt}\)\((y+\fbox{イ})^2=\fbox{ウ}(x-\fbox{エ})\) であり、
焦点は \((\fbox{オ}~,~\fbox{カキ})\) である。
\({\small (2)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,7\,}=1\) の焦点は \((\fbox{ク}~,~0)~,~\)\((\fbox{ケコ}~,~0)\) であり、\(x\) 軸方向に \(-3\) 、\(y\) 軸方向に \(1\) だけ平行移動すると、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x+\fbox{サ})^2\,}{\,\fbox{シス}\,}+\displaystyle \frac{\,(y-\fbox{セ})^2\,}{\,\fbox{ソ}\,}=1\) であり、
焦点は \((\fbox{タ}~,~\fbox{チ})~,~\)\((\fbox{ツテ}~,~\fbox{ト})\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
178｜２次曲線の方程式の変形
178
次の方程式が表す図形について、下の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)方程式 \(9x^2+25y^2-18x+100y-116=0\) を式変形すると、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x-\fbox{ア})^2\,}{\,\fbox{イウ}\,}+\displaystyle \frac{\,(y+\fbox{エ})^2\,}{\,\fbox{オ}\,}=1\)
これより、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\) を平行移動した図形である。
\({\small (2)}~\)方程式 \(9x^2-4y^2+18x+16y-43=0\) を式変形すると、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x+\fbox{キ})^2\,}{\,\fbox{ク}\,}-\displaystyle \frac{\,(y-\fbox{ケ})^2\,}{\,\fbox{コ}\,}=1\)
これより、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{サ}\) を平行移動した図形である。
\({\small (3)}~\)方程式 \(y^2-6y-8x+1=0\) を式変形すると、
\(\hspace{13pt}\)\((y-\fbox{シ})^2=\fbox{ス}(x+\fbox{セ})\)
これより、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ソ}\) を平行移動した図形である。
選択肢：⓪ 円 ① 楕円 ② 双曲線
③ 放物線 ④ 直線
問題178｜詳しい解説はこちら→
次の方程式が表す図形について、下の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)方程式 \(9x^2+25y^2-18x+100y-116=0\) を式変形すると、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x-\fbox{ア})^2\,}{\,\fbox{イウ}\,}+\displaystyle \frac{\,(y+\fbox{エ})^2\,}{\,\fbox{オ}\,}=1\)
これより、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\) を平行移動した図形である。
\({\small (2)}~\)方程式 \(9x^2-4y^2+18x+16y-43=0\) を式変形すると、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x+\fbox{キ})^2\,}{\,\fbox{ク}\,}-\displaystyle \frac{\,(y-\fbox{ケ})^2\,}{\,\fbox{コ}\,}=1\)
これより、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{サ}\) を平行移動した図形である。
\({\small (3)}~\)方程式 \(y^2-6y-8x+1=0\) を式変形すると、
\(\hspace{13pt}\)\((y-\fbox{シ})^2=\fbox{ス}(x+\fbox{セ})\)
これより、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ソ}\) を平行移動した図形である。
選択肢：⓪ 円 ① 楕円 ② 双曲線
③ 放物線 ④ 直線
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
179｜２次曲線と直線の共有点
179
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) と直線 \(y=x-2\) の共有点の座標は
\(\hspace{13pt}\)\((\fbox{ア}~,~\fbox{イウ})~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カキ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コサ}\,}\right)\) である。
\({\small (2)}~\)放物線 \(y^2=4x\) と直線 \(y=x+1\) の共有点の座標は \((\fbox{シ}~,~\fbox{ス})\) である。
\({\small (3)}~\)\(k\) を定数とする。楕円 \(x^2+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) と直線 \(y=x+k\) が共有点を \(2\) 個もつような \(k\) の値の範囲は \(\fbox{セ}\sqrt{\,\fbox{ソ}\,} \lt k \lt \sqrt{\,\fbox{タ}\,}\) である。
問題179｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) と直線 \(y=x-2\) の共有点の座標は
\(\hspace{13pt}\)\((\fbox{ア}~,~\fbox{イウ})~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カキ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コサ}\,}\right)\) である。
\({\small (2)}~\)放物線 \(y^2=4x\) と直線 \(y=x+1\) の共有点の座標は \((\fbox{シ}~,~\fbox{ス})\) である。
\({\small (3)}~\)\(k\) を定数とする。楕円 \(x^2+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) と直線 \(y=x+k\) が共有点を \(2\) 個もつような \(k\) の値の範囲は \(\fbox{セ}\sqrt{\,\fbox{ソ}\,} \lt k \lt \sqrt{\,\fbox{タ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
180｜２次曲線と直線の交点の中点
180
双曲線 \(x^2-y^2=1\) と直線 \(y=-2x+3\) の \(2\) つの交点の中点の座標について、
\(y\) を消去すると、\(3x^2-\fbox{アイ}\,x+\fbox{ウエ}=0\) となり、\(2\) つの交点の \(x\) 座標を \(\alpha~,~\beta\) とすると、
解と係数の関係より \(\alpha+\beta=\fbox{オ}\) である。
よって、中点の座標は \((\fbox{カ}~,~\fbox{キク})\) である。
問題180｜詳しい解説はこちら→
双曲線 \(x^2-y^2=1\) と直線 \(y=-2x+3\) の \(2\) つの交点の中点の座標について、
\(y\) を消去すると、\(3x^2-\fbox{アイ}\,x+\fbox{ウエ}=0\) となり、\(2\) つの交点の \(x\) 座標を \(\alpha~,~\beta\) とすると、
解と係数の関係より \(\alpha+\beta=\fbox{オ}\) である。
よって、中点の座標は \((\fbox{カ}~,~\fbox{キク})\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
181｜２次曲線の接線の方程式
181
次の曲線上の点における接線の方程式を求めよ。
\({\small (1)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,6\,}=1\) 上の点 \((\sqrt{\,3\,}~,~2)\) における接線の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(\sqrt{\,3\,}x+\fbox{ア}\,y=\fbox{イ}\) である。
\({\small (2)}~\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) 上の点 \((4~,~3\sqrt{\,3\,})\) における接線の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(\fbox{ウ}\,x-\sqrt{\,3\,}y=\fbox{エ}\) である。
\({\small (3)}~\)放物線 \(y^2=16x\) 上の点 \((1~,~-4)\) における接線の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(y=\fbox{オカ}\,x-\fbox{キ}\) である。
問題181｜詳しい解説はこちら→
次の曲線上の点における接線の方程式を求めよ。
\({\small (1)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,6\,}=1\) 上の点 \((\sqrt{\,3\,}~,~2)\) における接線の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(\sqrt{\,3\,}x+\fbox{ア}\,y=\fbox{イ}\) である。
\({\small (2)}~\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) 上の点 \((4~,~3\sqrt{\,3\,})\) における接線の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(\fbox{ウ}\,x-\sqrt{\,3\,}y=\fbox{エ}\) である。
\({\small (3)}~\)放物線 \(y^2=16x\) 上の点 \((1~,~-4)\) における接線の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(y=\fbox{オカ}\,x-\fbox{キ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
182｜曲線外の点から引いた接線
182
点 \((0~,~3)\) から楕円 \(x^2+2y^2=2\) に引いた接線の方程式について、
接線の傾きを \(m\) とすると、接線の方程式は \(y=mx+\fbox{ア}\) となり、これを楕円の方程式に代入して整理すると、
\((\fbox{イ}\,m^2+\fbox{ウ})x^2+\fbox{エオ}\,mx+\fbox{カキ}=0\)
この \(2\) 次方程式が重解をもつので、\(m=\pm\fbox{ク}\) である。
よって、接線の方程式は \(y=\fbox{ケ}\,x+\fbox{コ}~,~\)\(y=\fbox{サシ}\,x+\fbox{ス}\) である。
問題182｜詳しい解説はこちら→
点 \((0~,~3)\) から楕円 \(x^2+2y^2=2\) に引いた接線の方程式について、
接線の傾きを \(m\) とすると、接線の方程式は \(y=mx+\fbox{ア}\) となり、これを楕円の方程式に代入して整理すると、
\((\fbox{イ}\,m^2+\fbox{ウ})x^2+\fbox{エオ}\,mx+\fbox{カキ}=0\)
この \(2\) 次方程式が重解をもつので、\(m=\pm\fbox{ク}\) である。
よって、接線の方程式は \(y=\fbox{ケ}\,x+\fbox{コ}~,~\)\(y=\fbox{サシ}\,x+\fbox{ス}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
183｜軌跡と２次曲線
183
次の条件を満たす点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式を求めよ。
\({\small (1)}~\)長さ \(5\) の線分 \({\rm AB}\) の点 \({\rm A}\) は \(x\) 軸上を、点 \({\rm B}\) は \(y\) 軸上を動くとき、線分 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に内分する点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ア}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{イ}\,}=1\) である。
\({\small (2)}~\)点 \({\rm F}(3~,~0)\) からの距離と \(y\) 軸からの距離の比が \(1:2\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x-\fbox{ウ})^2\,}{\,\fbox{エ}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{オ}\,}=1\) である。
\({\small (3)}~\)点 \({\rm F}(3~,~0)\) からの距離と \(y\) 軸からの距離の比が \(2:1\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x+\fbox{カ})^2\,}{\,\fbox{キ}\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{クケ}\,}=1\) である。
問題183｜詳しい解説はこちら→
次の条件を満たす点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式を求めよ。
\({\small (1)}~\)長さ \(5\) の線分 \({\rm AB}\) の点 \({\rm A}\) は \(x\) 軸上を、点 \({\rm B}\) は \(y\) 軸上を動くとき、線分 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に内分する点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ア}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{イ}\,}=1\) である。
\({\small (2)}~\)点 \({\rm F}(3~,~0)\) からの距離と \(y\) 軸からの距離の比が \(1:2\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x-\fbox{ウ})^2\,}{\,\fbox{エ}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{オ}\,}=1\) である。
\({\small (3)}~\)点 \({\rm F}(3~,~0)\) からの距離と \(y\) 軸からの距離の比が \(2:1\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x+\fbox{カ})^2\,}{\,\fbox{キ}\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{クケ}\,}=1\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
184｜媒介変数で表された曲線
184
媒介変数で表された点 \({\rm P}(x~,~y)\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(x=\sqrt{\,t\,}~,~\)\(y=t+3\) で表される点 \({\rm P}\) は、放物線 \(y=x^2+\fbox{ア}\) の \(x{\small ~≧~}\fbox{イ}\) の部分を描く。
\({\small (2)}~\)\(x=\cos \theta~,~\)\(y=\sin^2 \theta\) で表される点 \({\rm P}\) は、放物線 \(y=\fbox{ウ}\,x^2+\fbox{エ}\) の \(\fbox{オカ}{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\fbox{キ}\) の部分を描く。
問題184｜詳しい解説はこちら→
媒介変数で表された点 \({\rm P}(x~,~y)\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(x=\sqrt{\,t\,}~,~\)\(y=t+3\) で表される点 \({\rm P}\) は、放物線 \(y=x^2+\fbox{ア}\) の \(x{\small ~≧~}\fbox{イ}\) の部分を描く。
\({\small (2)}~\)\(x=\cos \theta~,~\)\(y=\sin^2 \theta\) で表される点 \({\rm P}\) は、放物線 \(y=\fbox{ウ}\,x^2+\fbox{エ}\) の \(\fbox{オカ}{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\fbox{キ}\) の部分を描く。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
185｜２次曲線の媒介変数表示
185
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)放物線 \(y^2=4px\) と直線 \(y=2pt\) の交点を考えて、\(t\) を媒介変数とすると、放物線 \(y^2=8x\) は
\(\hspace{13pt}\)\(x=\fbox{ア}\,t^2~,~\)\(y=\fbox{イ}\,t\) と表される。
\({\small (2)}~\)\(\theta\) を媒介変数とすると、
楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) は
\(\hspace{13pt}\)\(x=\fbox{ウ}\cos \theta~,~\)\(y=\fbox{エ}\sin \theta\) と表される。
\({\small (3)}~\)媒介変数表示 \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos \theta\,}+2~,~\)\(y=\tan \theta-3\) が表す曲線の方程式は
\(\hspace{13pt}\)\((x-\fbox{オ})^2-(y+\fbox{カ})^2=1\) である。
問題185｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)放物線 \(y^2=4px\) と直線 \(y=2pt\) の交点を考えて、\(t\) を媒介変数とすると、放物線 \(y^2=8x\) は
\(\hspace{13pt}\)\(x=\fbox{ア}\,t^2~,~\)\(y=\fbox{イ}\,t\) と表される。
\({\small (2)}~\)\(\theta\) を媒介変数とすると、
楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) は
\(\hspace{13pt}\)\(x=\fbox{ウ}\cos \theta~,~\)\(y=\fbox{エ}\sin \theta\) と表される。
\({\small (3)}~\)媒介変数表示 \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos \theta\,}+2~,~\)\(y=\tan \theta-3\) が表す曲線の方程式は
\(\hspace{13pt}\)\((x-\fbox{オ})^2-(y+\fbox{カ})^2=1\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
186｜極座標と直交座標の変換
186
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)極座標で表された点 \({\rm A}\left(2~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\) を直交座標で表すと \({\rm A}(\sqrt{\,\fbox{ア}\,}~,~\fbox{イ})\) である。
\({\small (2)}~\)極座標で表された点 \({\rm B}\left(4~,~-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\) を直交座標で表すと \({\rm B}(\fbox{ウ}\sqrt{\,\fbox{エ}\,}~,~\fbox{オカ}\sqrt{\,\fbox{キ}\,})\) である。
\({\small (3)}~\)直交座標で表された点 \({\rm C}(-2~,~-2)\) を極座標 \((r~,~\theta)~,~\)\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) で表すと、
\(\hspace{13pt}\)\({\rm C}\left(\fbox{ク}\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{コ}\,}{\,\fbox{サ}\,}\pi\right)\) である。
問題186｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)極座標で表された点 \({\rm A}\left(2~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\) を直交座標で表すと \({\rm A}(\sqrt{\,\fbox{ア}\,}~,~\fbox{イ})\) である。
\({\small (2)}~\)極座標で表された点 \({\rm B}\left(4~,~-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\) を直交座標で表すと \({\rm B}(\fbox{ウ}\sqrt{\,\fbox{エ}\,}~,~\fbox{オカ}\sqrt{\,\fbox{キ}\,})\) である。
\({\small (3)}~\)直交座標で表された点 \({\rm C}(-2~,~-2)\) を極座標 \((r~,~\theta)~,~\)\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) で表すと、
\(\hspace{13pt}\)\({\rm C}\left(\fbox{ク}\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{コ}\,}{\,\fbox{サ}\,}\pi\right)\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
187｜極方程式が表す図形
187
極座標 \((r~,~\theta)\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)極方程式 \(r=2\) が表す図形は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)
\(\hspace{13pt}\)極方程式 \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) が表す図形は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
\(\hspace{13pt}\)極方程式 \(r\cos \theta=2\) が表す図形は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\)
\(\hspace{13pt}\)極方程式 \(r=2\cos \theta\) が表す図形は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)〜\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\) の選択肢：
⓪ 点 \((2~,~0)\) を中心とする半径 \(2\) の円
① 極 \({\rm O}\) を通り、始線に垂直な直線
② 極 \({\rm O}\) を中心とする半径 \(2\) の円
③ 点 \((2~,~0)\) を通り、始線に垂直な直線
④ 点 \((1~,~0)\) を中心とする半径 \(1\) の円
⑤ 極 \({\rm O}\) を通り、始線とのなす角が \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の直線
\({\small (2)}~\)極座標 \(\left(2~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\) の点 \({\rm A}\) を通り、\({\rm OA}\) に垂直な直線 \(\ell\) の極方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(r\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{オ}\,}\right)=\fbox{カ}\) である。
問題187｜詳しい解説はこちら→
極座標 \((r~,~\theta)\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)極方程式 \(r=2\) が表す図形は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)
\(\hspace{13pt}\)極方程式 \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) が表す図形は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
\(\hspace{13pt}\)極方程式 \(r\cos \theta=2\) が表す図形は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\)
\(\hspace{13pt}\)極方程式 \(r=2\cos \theta\) が表す図形は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\)
\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)〜\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{エ}\) の選択肢：
⓪ 点 \((2~,~0)\) を中心とする半径 \(2\) の円
① 極 \({\rm O}\) を通り、始線に垂直な直線
② 極 \({\rm O}\) を中心とする半径 \(2\) の円
③ 点 \((2~,~0)\) を通り、始線に垂直な直線
④ 点 \((1~,~0)\) を中心とする半径 \(1\) の円
⑤ 極 \({\rm O}\) を通り、始線とのなす角が \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の直線
\({\small (2)}~\)極座標 \(\left(2~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\) の点 \({\rm A}\) を通り、\({\rm OA}\) に垂直な直線 \(\ell\) の極方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(r\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{オ}\,}\right)=\fbox{カ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
188｜極方程式と直交座標の方程式
188
極座標 \((r~,~\theta)\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)極方程式 \(r=2(\cos \theta-\sin \theta)\) が表す曲線を直交座標の方程式で表すと、
\(\hspace{13pt}\)\((x-\fbox{ア})^2+(y+\fbox{イ})^2=\fbox{ウ}\) である。
\({\small (2)}~\)極方程式 \(r^2\sin 2\theta=4\) が表す曲線を直交座標の方程式で表すと、\(xy=\fbox{エ}\) である。
\({\small (3)}~\)曲線 \(x^2+y^2-4x=0\) を極方程式で表すと、\(r=\fbox{オ}\cos \theta\) である。
\({\small (4)}~\)曲線 \(x^2+2y^2=2\) を極方程式で表すと、
\(\hspace{13pt}\)\(r^2=\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,1+\sin^2 \theta\,}\) である。
問題188｜詳しい解説はこちら→
極座標 \((r~,~\theta)\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)極方程式 \(r=2(\cos \theta-\sin \theta)\) が表す曲線を直交座標の方程式で表すと、
\(\hspace{13pt}\)\((x-\fbox{ア})^2+(y+\fbox{イ})^2=\fbox{ウ}\) である。
\({\small (2)}~\)極方程式 \(r^2\sin 2\theta=4\) が表す曲線を直交座標の方程式で表すと、\(xy=\fbox{エ}\) である。
\({\small (3)}~\)曲線 \(x^2+y^2-4x=0\) を極方程式で表すと、\(r=\fbox{オ}\cos \theta\) である。
\({\small (4)}~\)曲線 \(x^2+2y^2=2\) を極方程式で表すと、
\(\hspace{13pt}\)\(r^2=\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,1+\sin^2 \theta\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
