数学C｜２次曲線｜問題一覧 ＞ 問題解説 174
174｜楕円の定義と焦点・長軸
174
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) の
\(\hspace{13pt}\)長軸の長さは \(\fbox{アイ}\) 、
\(\hspace{13pt}\)短軸の長さは \(\fbox{ウ}\) であり、
\(\hspace{13pt}\)焦点は \(2\) 点 \((\fbox{エ}~,~\fbox{オ})~,~\)\((\fbox{カキ}~,~\fbox{ク})\)
である。
\({\small (2)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,25\,}=1\) の焦点は
\(\hspace{13pt}\)\(2\) 点 \((\fbox{ケ}~,~\fbox{コ})~,~\)\((\fbox{サ}~,~\fbox{シス})\) である。
\({\small (3)}~\)\(2\) 点 \((3~,~0)~,~\)\((-3~,~0)\) からの距離の和が \(10\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{セソ}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{タチ}\,}=1\) である。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) の
\(\hspace{13pt}\)長軸の長さは \(\fbox{アイ}\) 、
\(\hspace{13pt}\)短軸の長さは \(\fbox{ウ}\) であり、
\(\hspace{13pt}\)焦点は \(2\) 点 \((\fbox{エ}~,~\fbox{オ})~,~\)\((\fbox{カキ}~,~\fbox{ク})\)
である。
\({\small (2)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,25\,}=1\) の焦点は
\(\hspace{13pt}\)\(2\) 点 \((\fbox{ケ}~,~\fbox{コ})~,~\)\((\fbox{サ}~,~\fbox{シス})\) である。
\({\small (3)}~\)\(2\) 点 \((3~,~0)~,~\)\((-3~,~0)\) からの距離の和が \(10\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{セソ}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{タチ}\,}=1\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
174 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)長軸の長さ \(10\) 短軸の長さ \(6\)
\(\hspace{13pt}\)焦点 \((4~,~0)~,~\)\((-4~,~0)\)
\({\small (2)}~\)焦点 \((0~,~4)~,~\)\((0~,~-4)\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,16\,}=1\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) より、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,5^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3^2\,}=1\)
これより、\(a=5~,~b=3\) となる
長軸の長さは、\(2a=2 \cdot 5=10\)
短軸の長さは、\(2b=2 \cdot 3=6\)
ここで、\(a \gt b\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\sqrt{\,a^2-b^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5^2-3^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,25-9\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16\,}
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
よって、焦点は、\((4~,~0)~,~\)\((-4~,~0)\)
また、頂点は \(a=5~,~b=3\) より、
\((5~,~0)~,~\)\((-5~,~0)~,~\)\((0~,~3)~,~\)\((0~,~-3)\)
中心は原点より、この楕円の概形は、
※ \(4\) 本の直線 \(x=5~,~\)\(x=-5~,~\)\(y=3~,~\)\(y=-3\) で囲まれた長方形の中に入る楕円を考える。
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,25\,}=1\) より、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,3^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,5^2\,}=1\)
これより、\(a=3~,~b=5\) となる
ここで、\(a \lt b\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\sqrt{\,b^2-a^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5^2-3^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,25-9\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16\,}
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
よって、焦点は、\((0~,~4)~,~\)\((0~,~-4)\)
また、\(a \lt b\) のとき、焦点は \(y\) 軸上にあり、長軸も \(y\) 軸上にあるので、
長軸の長さは、\(2b=2 \cdot 5=10\)
短軸の長さは、\(2a=2 \cdot 3=6\)
また、頂点は \(a=3~,~b=5\) より、
\((3~,~0)~,~\)\((-3~,~0)~,~\)\((0~,~5)~,~\)\((0~,~-5)\)
中心は原点より、この楕円の概形は、
※ \(4\) 本の直線 \(x=3~,~\)\(x=-3~,~\)\(y=5~,~\)\(y=-5\) で囲まれた長方形の中に入る楕円を考える。
\({\small (3)}~\)\(2\) つの定点からの距離の和が一定である点の軌跡は楕円である
この楕円の方程式を
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\)
とすると、
焦点が \(x\) 軸上より、\(a \gt b \gt 0\)
よって、\(c=3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,a^2-b^2\,}&=&3
\\[3pt]~~~a^2-b^2&=&9~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、焦点からの距離の和が \(10\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2a&=&10
\\[3pt]~~~a&=&5\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~5^2-b^2&=&9
\\[3pt]~~~25-b^2&=&9
\\[3pt]~~~-b^2&=&-16
\\[3pt]~~~b^2&=&16\end{eqnarray}\)
\(b \gt 0\) より、\(b=4\)
よって、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,5^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4^2\,}=1\)
したがって、楕円の方程式は、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,16\,}=1\) となる
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