数学C｜２次曲線｜問題一覧 ＞ 問題解説 186
186｜極座標と直交座標の変換
186
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)極座標で表された点 \({\rm A}\left(2~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\) を直交座標で表すと \({\rm A}(\sqrt{\,\fbox{ア}\,}~,~\fbox{イ})\) である。
\({\small (2)}~\)極座標で表された点 \({\rm B}\left(4~,~-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\) を直交座標で表すと \({\rm B}(\fbox{ウ}\sqrt{\,\fbox{エ}\,}~,~\fbox{オカ}\sqrt{\,\fbox{キ}\,})\) である。
\({\small (3)}~\)直交座標で表された点 \({\rm C}(-2~,~-2)\) を極座標 \((r~,~\theta)~,~\)\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) で表すと、
\(\hspace{13pt}\)\({\rm C}\left(\fbox{ク}\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{コ}\,}{\,\fbox{サ}\,}\pi\right)\) である。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)極座標で表された点 \({\rm A}\left(2~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\) を直交座標で表すと \({\rm A}(\sqrt{\,\fbox{ア}\,}~,~\fbox{イ})\) である。
\({\small (2)}~\)極座標で表された点 \({\rm B}\left(4~,~-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\) を直交座標で表すと \({\rm B}(\fbox{ウ}\sqrt{\,\fbox{エ}\,}~,~\fbox{オカ}\sqrt{\,\fbox{キ}\,})\) である。
\({\small (3)}~\)直交座標で表された点 \({\rm C}(-2~,~-2)\) を極座標 \((r~,~\theta)~,~\)\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) で表すと、
\(\hspace{13pt}\)\({\rm C}\left(\fbox{ク}\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{コ}\,}{\,\fbox{サ}\,}\pi\right)\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
186 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\({\rm A}(\sqrt{\,3\,}~,~1)\)
\({\small (2)}~\)\({\rm B}(2\sqrt{\,2\,}~,~-2\sqrt{\,2\,})\)
\({\small (3)}~\)\({\rm C}\left(2\sqrt{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)点 \({\rm A}\left(2~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\) より、\(r=2~,~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&r\cos \theta
\\[5pt]~~~&=&2\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&r\sin \theta
\\[5pt]~~~&=&2\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm A}(\sqrt{\,3\,}~,~1)\) となる
\({\small (2)}~\)点 \({\rm B}\left(4~,~-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\) より、\(r=4~,~\theta=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&r\cos \theta
\\[5pt]~~~&=&4\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&4 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&r\sin \theta
\\[5pt]~~~&=&4\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&4 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&4 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm B}(2\sqrt{\,2\,}~,~-2\sqrt{\,2\,})\) となる
\({\small (3)}~\)\({\rm C}(-2~,~-2)\) より、\(x=-2~,~y=-2\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\sqrt{\,(-2)^2+(-2)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,8\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) の範囲で、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~\sin \theta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
となるので、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\)
したがって、\({\rm C}\left(2\sqrt{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)\) となる
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