共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線の基本問題16問【PDF・解説つき】

187 数学ⅡBC【解答】

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\({\small (1)}~\)\(r=2\) …② 、 \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) …⑤

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\(\hspace{13pt}\)\(r\cos \theta=2\) …③ 、 \(r=2\cos \theta\) …④

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\({\small (2)}~\)\(r\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)=2\)

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【より詳しい解説】

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\({\small (1)}~\)極座標 \((r~,~\theta)\) について、極方程式 \(r=2\) は、

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　\(r=2\) 、\(\theta\) は任意の値より、

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極 \({\rm O}\) を中心とする半径 \(2\) の円を表す（②）

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【別解】

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極座標 \((r~,~\theta)\) について、極方程式 \(r=2\) は、

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\(r=\sqrt{\,x^2+y^2\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,x^2+y^2\,}&=&2
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&2^2\end{eqnarray}\)

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これより、原点を中心、半径 \(2\) の円になる

 
 

極座標 \((r~,~\theta)\) について、極方程式 \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) は、

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　\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) 、\(r\) は任意の値より、

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極 \({\rm O}\) を通り、始線とのなす角が \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の直線を表す（⑤）

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極座標 \((r~,~\theta)\) について、極方程式 \(r\cos \theta=2\) は、

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　\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,r\,}\)

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図より、極座標 \((2~,~0)\) を通り、始線 \({\rm OX}\) に垂直な直線となる（③）

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【別解】

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極座標 \((r~,~\theta)\) について、極方程式 \(r\cos \theta=2\) は、

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\(r\cos \theta=x\) より、

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　\(x=2\)

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これより、直線 \(x=2\) となる

 
 

極座標 \((r~,~\theta)\) について、極方程式 \(r=2\cos \theta\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~2\cos \theta&=&r
\\[5pt]~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,r\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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図より、中心が極座標 \((1~,~0)\) 、半径 \(1\) の円となる（④）

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【別解】

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極座標 \((r~,~\theta)\) について、極方程式 \(r=2\cos \theta\) は、

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両辺に \(r\) をかけると、

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　\(r^2=2r\cos \theta\)

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\(r^2=x^2+y^2\) 、\(r\cos \theta=x\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&2x
\\[3pt]~~~x^2-2x+y^2&=&0
\\[3pt]~~~(x^2-2x+1)-1+y^2&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)^2+y^2&=&1\end{eqnarray}\)

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これより、中心 \((1~,~0)\) 、半径 \(1\) の円となる

 
 

\({\small (2)}~\)

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この直線 \(\ell\) 上の任意の点を \({\rm P}(r~,~\theta)\) とすると、

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\(\triangle {\rm POA}\) は \(\angle {\rm PAO}=90°\) の直角三角形となるので、

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　\(\angle {\rm POA}=\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,r\,}
\\[5pt]~~~r\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)&=&2\end{eqnarray}\)

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したがって、極方程式は \(r\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)=2\) となる