数学C｜２次曲線｜問題一覧 ＞ 問題解説 185
185｜２次曲線の媒介変数表示
185
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)放物線 \(y^2=4px\) と直線 \(y=2pt\) の交点を考えて、\(t\) を媒介変数とすると、放物線 \(y^2=8x\) は
\(\hspace{13pt}\)\(x=\fbox{ア}\,t^2~,~\)\(y=\fbox{イ}\,t\) と表される。
\({\small (2)}~\)\(\theta\) を媒介変数とすると、
楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) は
\(\hspace{13pt}\)\(x=\fbox{ウ}\cos \theta~,~\)\(y=\fbox{エ}\sin \theta\) と表される。
\({\small (3)}~\)媒介変数表示 \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos \theta\,}+2~,~\)\(y=\tan \theta-3\) が表す曲線の方程式は
\(\hspace{13pt}\)\((x-\fbox{オ})^2-(y+\fbox{カ})^2=1\) である。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)放物線 \(y^2=4px\) と直線 \(y=2pt\) の交点を考えて、\(t\) を媒介変数とすると、放物線 \(y^2=8x\) は
\(\hspace{13pt}\)\(x=\fbox{ア}\,t^2~,~\)\(y=\fbox{イ}\,t\) と表される。
\({\small (2)}~\)\(\theta\) を媒介変数とすると、
楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) は
\(\hspace{13pt}\)\(x=\fbox{ウ}\cos \theta~,~\)\(y=\fbox{エ}\sin \theta\) と表される。
\({\small (3)}~\)媒介変数表示 \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos \theta\,}+2~,~\)\(y=\tan \theta-3\) が表す曲線の方程式は
\(\hspace{13pt}\)\((x-\fbox{オ})^2-(y+\fbox{カ})^2=1\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
185 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(x=2t^2~,~\)\(y=4t\)
\({\small (2)}~\)\(x=3\cos \theta~,~\)\(y=2\sin \theta\)
\({\small (3)}~\)\((x-2)^2-(y+3)^2=1\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(y^2=8x\) より、\(y^2=4 \cdot 2 \cdot x\) となるので、\(p=2\)
直線 \(y=2pt\) は、\(p=2\) より \(y=4t\)
この直線と放物線 \(y^2=8x\) の交点を \({\rm P}(x~,~y)\) として、\(y^2=8x\) に \(y=4t\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(4t)^2&=&8x
\\[3pt]~~~16t^2&=&8x
\\[3pt]~~~8x&=&16t^2
\\[3pt]~~~x&=&2t^2\end{eqnarray}\)
したがって、放物線 \(y^2=8x\) の媒介変数表示は、
\(x=2t^2~,~y=4t\) となる
※ 放物線 \(y^2=4px\) と直線 \(y=2pt\) の交点を考えると、放物線 \(y^2=4px\) の媒介変数表示は \(x=pt^2~,~\)\(y=2pt\) となる。
\({\small (2)}~\)三角関数の相互関係の公式より、
\(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta=1\)
また、楕円の方程式は、
\(\left(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\,y\,}{\,2\,}\right)^2=1\)
これより、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) の媒介変数表示は、
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}=\cos \theta~,~\displaystyle \frac{\,y\,}{\,2\,}=\sin \theta\)
したがって、
\(x=3\cos \theta~,~y=2\sin \theta\)
\({\small (3)}~\)\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos \theta\,}+2\) より、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos \theta\,}=x-2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(y=\tan \theta-3\) より、
\(\tan \theta=y+3~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
三角関数の相互関係の公式より、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}-\tan^2 \theta=1\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) を代入すると、
\((x-2)^2-(y+3)^2=1\)
したがって、双曲線 \(x^2-y^2=1\) を \(x\) 軸方向に \(2\) 、\(y\) 軸方向に \(-3\) 平行移動した双曲線である
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