数学C｜２次曲線｜問題一覧 ＞ 問題解説 175
175｜円と楕円の関係
175
円 \(x^2+y^2=9\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)この円を \(x\) 軸をもとにして \(y\) 軸方向に \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) 倍に縮小して得られる曲線は、
\(\hspace{13pt}\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ア}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{イ}\,}=1\) である。
\({\small (2)}~\)この円を \(y\) 軸をもとにして \(x\) 軸方向に \(2\) 倍に拡大して得られる曲線は、
\(\hspace{13pt}\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ウエ}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{オ}\,}=1\) である。
円 \(x^2+y^2=9\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)この円を \(x\) 軸をもとにして \(y\) 軸方向に \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) 倍に縮小して得られる曲線は、
\(\hspace{13pt}\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ア}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{イ}\,}=1\) である。
\({\small (2)}~\)この円を \(y\) 軸をもとにして \(x\) 軸方向に \(2\) 倍に拡大して得られる曲線は、
\(\hspace{13pt}\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ウエ}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{オ}\,}=1\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
175 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,36\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)円 \(x^2+y^2=9\) 上の点 \({\rm Q}(s~,~t)\) が、縮小した曲線上の点 \({\rm P}(x~,~y)\) に移ったとすると、
\(x\) 座標はそのままで \(x=s\)
\(y\) 座標は \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) 倍されるので \(y=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}t\)
よって、
\(s=x~,~t=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}y~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、点 \({\rm Q}(s~,~t)\) は円 \(x^2+y^2=9\) 上の点より、
\(s^2+t^2=9\)
これに \({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}y\right)^2&=&9
\\[5pt]~~~x^2+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}y^2&=&9\end{eqnarray}\)
両辺を \(9\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\)
したがって、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) となる
\({\small (2)}~\)円 \(x^2+y^2=9\) 上の点 \({\rm Q}(s~,~t)\) が、拡大した曲線上の点 \({\rm P}(x~,~y)\) に移ったとすると、
\(x\) 座標は \(2\) 倍されるので \(x=2s\)
\(y\) 座標はそのままで \(y=t\)
よって、
\(s=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,2\,}~,~t=y~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、点 \({\rm Q}(s~,~t)\) は円 \(x^2+y^2=9\) 上の点より、
\(s^2+t^2=9\)
これに \({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,2\,}\right)^2+y^2&=&9
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+y^2&=&9\end{eqnarray}\)
両辺を \(9\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,36\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\)
したがって、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,36\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) となる
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