数学C｜２次曲線｜問題一覧 ＞ 問題解説 176
176｜双曲線の定義と焦点・漸近線
176
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) の
\(\hspace{13pt}\)焦点は \(2\) 点 \((\sqrt{\,\fbox{アイ}\,}~,~\fbox{ウ})~,~\)\((\fbox{エ}\sqrt{\,\fbox{オカ}\,}~,~\fbox{キ})\) 、
\(\hspace{13pt}\)頂点は \(2\) 点 \((\fbox{ク}~,~\fbox{ケ})~,~\)\((\fbox{コサ}~,~\fbox{シ})\) であり、
\(\hspace{13pt}\)漸近線は \(2\) 直線 \(y=\pm\displaystyle \frac{\,\fbox{ス}\,}{\,\fbox{セ}\,}x\) である。
\({\small (2)}~\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=-1\) の
\(\hspace{13pt}\)焦点は \(2\) 点 \((\fbox{ソ}~,~\fbox{タ})~,~\)\((\fbox{チ}~,~\fbox{ツテ})\) 、
頂点は \(2\) 点 \((\fbox{ト}~,~\fbox{ナ})~,~\)\((\fbox{ニ}~,~\fbox{ヌネ})\) であり、
\(\hspace{13pt}\)漸近線は \(2\) 直線 \(y=\pm\displaystyle \frac{\,\fbox{ノ}\,}{\,\fbox{ハ}\,}x\) である。
\({\small (3)}~\)\(2\) 点 \((5~,~0)~,~\)\((-5~,~0)\) からの距離の差が \(8\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ヒフ}\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{ヘ}\,}=1\) である。
\({\small (4)}~\)\(2\) 点 \((4~,~0)~,~\)\((-4~,~0)\) を焦点とする直角双曲線の方程式は \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ホ}\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{マ}\,}=1\) であり、
\(2\) 点 \((0~,~3)~,~\)\((0~,~-3)\) を頂点とする直角双曲線の方程式は \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ミ}\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{ム}\,}=-1\) である。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) の
\(\hspace{13pt}\)焦点は \(2\) 点 \((\sqrt{\,\fbox{アイ}\,}~,~\fbox{ウ})~,~\)\((\fbox{エ}\sqrt{\,\fbox{オカ}\,}~,~\fbox{キ})\) 、
\(\hspace{13pt}\)頂点は \(2\) 点 \((\fbox{ク}~,~\fbox{ケ})~,~\)\((\fbox{コサ}~,~\fbox{シ})\) であり、
\(\hspace{13pt}\)漸近線は \(2\) 直線 \(y=\pm\displaystyle \frac{\,\fbox{ス}\,}{\,\fbox{セ}\,}x\) である。
\({\small (2)}~\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=-1\) の
\(\hspace{13pt}\)焦点は \(2\) 点 \((\fbox{ソ}~,~\fbox{タ})~,~\)\((\fbox{チ}~,~\fbox{ツテ})\) 、
頂点は \(2\) 点 \((\fbox{ト}~,~\fbox{ナ})~,~\)\((\fbox{ニ}~,~\fbox{ヌネ})\) であり、
\(\hspace{13pt}\)漸近線は \(2\) 直線 \(y=\pm\displaystyle \frac{\,\fbox{ノ}\,}{\,\fbox{ハ}\,}x\) である。
\({\small (3)}~\)\(2\) 点 \((5~,~0)~,~\)\((-5~,~0)\) からの距離の差が \(8\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ヒフ}\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{ヘ}\,}=1\) である。
\({\small (4)}~\)\(2\) 点 \((4~,~0)~,~\)\((-4~,~0)\) を焦点とする直角双曲線の方程式は \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ホ}\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{マ}\,}=1\) であり、
\(2\) 点 \((0~,~3)~,~\)\((0~,~-3)\) を頂点とする直角双曲線の方程式は \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ミ}\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{ム}\,}=-1\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
176 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)焦点 \((\sqrt{\,13\,}~,~0)~,~\)\((-\sqrt{\,13\,}~,~0)\)
\(\hspace{13pt}\)頂点 \((2~,~0)~,~\)\((-2~,~0)\)
\(\hspace{13pt}\)漸近線 \(y=\pm\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x\)
\({\small (2)}~\)焦点 \((0~,~5)~,~\)\((0~,~-5)\)
\(\hspace{13pt}\)頂点 \((0~,~3)~,~\)\((0~,~-3)\)
\(\hspace{13pt}\)漸近線 \(y=\pm\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}x\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\)
\({\small (4)}~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}=1~,~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=-1\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) より、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3^2\,}=1\)
これより、\(a=2~,~b=3\)
\(c=\sqrt{\,a^2+b^2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\sqrt{\,2^2+3^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+9\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,13\,}\end{eqnarray}\)
右辺が \(1\) より、焦点や頂点が \(x\) 軸上にある
よって、焦点は、\((\sqrt{\,13\,}~,~0)~,~\)\((-\sqrt{\,13\,}~,~0)\)
頂点は、\((2~,~0)~,~\)\((-2~,~0)\)
漸近線は、\(y=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x~,~\)\(y=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x\)
双曲線の概形は、
※ \(4\) 本の直線 \(x=2~,~\)\(x=-2~,~\)\(y=3~,~\)\(y=-3\) で囲まれた長方形を描き、その対角線が漸近線となり、\(x\) 軸との交点が頂点となる。
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=-1\) より、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3^2\,}=-1\)
これより、\(a=4~,~b=3\)
\(c=\sqrt{\,a^2+b^2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\sqrt{\,4^2+3^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16+9\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,25\,}
\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
右辺が \(-1\) より、焦点や頂点が \(y\) 軸上にある
よって、焦点は、\((0~,~5)~,~\)\((0~,~-5)\)
頂点は、\((0~,~3)~,~\)\((0~,~-3)\)
漸近線は、\(y=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}x~,~\)\(y=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}x\)
双曲線の概形は、
※ \(4\) 本の直線 \(x=4~,~\)\(x=-4~,~\)\(y=3~,~\)\(y=-3\) で囲まれた長方形を描き、その対角線が漸近線となり、\(y\) 軸との交点が頂点となる。
\({\small (3)}~\)\(2\) つの定点からの距離の差が一定である点の軌跡は双曲線である
焦点 \((5~,~0)~,~\)\((-5~,~0)\) は \(x\) 軸上にあるので、この双曲線は
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1~~~(a \gt 0~,~b \gt 0)\)
と表せる
\(c=5\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,a^2+b^2\,}&=&5
\\[3pt]~~~a^2+b^2&=&25~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
焦点からの距離の差が \(8\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2a&=&8
\\[3pt]~~~a&=&4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4^2+b^2&=&25
\\[3pt]~~~16+b^2&=&25
\\[3pt]~~~b^2&=&9\end{eqnarray}\)
\(b \gt 0\) より、\(b=3\)
よって、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3^2\,}=1\)
したがって、
双曲線の方程式は \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) となる
\({\small (4)}~\)焦点が \(x\) 軸上にあるので、この双曲線は
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,a^2\,}=1~~~(a \gt 0)\)
と表せる
\(c=4\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,a^2+a^2\,}&=&4
\\[3pt]~~~\sqrt{\,2a^2\,}&=&4
\\[3pt]~~~2a^2&=&16
\\[3pt]~~~a^2&=&8\end{eqnarray}\)
\(a \gt 0\) より、\(a=2\sqrt{\,2\,}\)
よって、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,(2\sqrt{\,2\,})^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,(2\sqrt{\,2\,})^2\,}=1\)
したがって、
双曲線の方程式は \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}=1\) となる
また、頂点が \(y\) 軸上にあるので、この双曲線は
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,b^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=-1~~~(b \gt 0)\)
と表せる
頂点が \((0~,~3)~,~\)\((0~,~-3)\) より、\(b=3\)
よって、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,3^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3^2\,}=-1\)
したがって、
双曲線の方程式は \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=-1\) となる
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