数学C｜２次曲線｜問題一覧 ＞ 問題解説 180
180｜２次曲線と直線の交点の中点
180
双曲線 \(x^2-y^2=1\) と直線 \(y=-2x+3\) の \(2\) つの交点の中点の座標について、
\(y\) を消去すると、\(3x^2-\fbox{アイ}\,x+\fbox{ウエ}=0\) となり、\(2\) つの交点の \(x\) 座標を \(\alpha~,~\beta\) とすると、
解と係数の関係より \(\alpha+\beta=\fbox{オ}\) である。
よって、中点の座標は \((\fbox{カ}~,~\fbox{キク})\) である。
双曲線 \(x^2-y^2=1\) と直線 \(y=-2x+3\) の \(2\) つの交点の中点の座標について、
\(y\) を消去すると、\(3x^2-\fbox{アイ}\,x+\fbox{ウエ}=0\) となり、\(2\) つの交点の \(x\) 座標を \(\alpha~,~\beta\) とすると、
解と係数の関係より \(\alpha+\beta=\fbox{オ}\) である。
よって、中点の座標は \((\fbox{カ}~,~\fbox{キク})\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
180 数学ⅡBC【解答】
\(3x^2-12x+10=0\) 、\(\alpha+\beta=4\)
中点 \((2~,~-1)\)
【より詳しい解説】
双曲線と直線との交点の \(x\) 座標を \(\alpha~,~\beta\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x^2-y^2=1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\ y=-2x+3~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に \({\small [\,2\,]}\) を代入して \(y\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-(-2x+3)^2&=&1
\\[3pt]~~~x^2-(4x^2-12x+9)&=&1
\\[3pt]~~~x^2-4x^2+12x-9&=&1
\\[3pt]~~~-3x^2+12x-10&=&0
\\[3pt]~~~3x^2-12x+10&=&0\end{eqnarray}\)
この \(2\) 次方程式の異なる \(2\) つの解が \(\alpha~,~\beta\) となる
よって、解と係数の関係より、
\(\alpha+\beta=-\displaystyle \frac{\,-12\,}{\,3\,}=4\)
ここで、中点の \(x\) 座標は \(\displaystyle \frac{\,\alpha+\beta\,}{\,2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\alpha+\beta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
また、この中点は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にあるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-2 \cdot 2+3
\\[3pt]~~~&=&-4+3
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、中点の座標は \((2~,~-1)\) となる
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