数学C｜２次曲線｜問題一覧 ＞ 問題解説 182
182｜曲線外の点から引いた接線
182
点 \((0~,~3)\) から楕円 \(x^2+2y^2=2\) に引いた接線の方程式について、
接線の傾きを \(m\) とすると、接線の方程式は \(y=mx+\fbox{ア}\) となり、これを楕円の方程式に代入して整理すると、
\((\fbox{イ}\,m^2+\fbox{ウ})x^2+\fbox{エオ}\,mx+\fbox{カキ}=0\)
この \(2\) 次方程式が重解をもつので、\(m=\pm\fbox{ク}\) である。
よって、接線の方程式は \(y=\fbox{ケ}\,x+\fbox{コ}~,~\)\(y=\fbox{サシ}\,x+\fbox{ス}\) である。
点 \((0~,~3)\) から楕円 \(x^2+2y^2=2\) に引いた接線の方程式について、
接線の傾きを \(m\) とすると、接線の方程式は \(y=mx+\fbox{ア}\) となり、これを楕円の方程式に代入して整理すると、
\((\fbox{イ}\,m^2+\fbox{ウ})x^2+\fbox{エオ}\,mx+\fbox{カキ}=0\)
この \(2\) 次方程式が重解をもつので、\(m=\pm\fbox{ク}\) である。
よって、接線の方程式は \(y=\fbox{ケ}\,x+\fbox{コ}~,~\)\(y=\fbox{サシ}\,x+\fbox{ス}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
182 数学ⅡBC【解答】
\(y=mx+3\)
\((2m^2+1)x^2+12mx+16=0\)
\(m=\pm 2\)
接線 \(y=2x+3~,~\)\(y=-2x+3\)
【より詳しい解説】
楕円の方程式を
\(x^2+2y^2=2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
とする
点 \((0~,~3)\) を通る直線 \(x=0\) は、楕円と \(2\) 点 \((0~,~1)~,~(0~,~-1)\) で交わり接線とならないので、
点 \((0~,~3)\) から引いた接線の傾きを \(m\) とすると、
この接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-3&=&m(x-0)
\\[3pt]~~~y&=&mx+3~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に \({\small [\,2\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+2(mx+3)^2&=&2
\\[3pt]~~~x^2+2(m^2x^2+6mx+9)&=&2
\\[3pt]~~~x^2+2m^2x^2+12mx+18-2&=&0
\\[3pt]~~~(2m^2+1)x^2+12mx+16&=&0\end{eqnarray}\)
楕円に接するとき、この \(2\) 次方程式は重解をもつので、判別式 \(D=0\) となる
\((2m^2+1)x^2+2\cdot 6mx+16=0\) としたときの、\(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=b^{\prime 2}-ac\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&0
\\[5pt]~~~(6m)^2-(2m^2+1) \cdot 16&=&0
\\[3pt]~~~36m^2-32m^2-16&=&0
\\[3pt]~~~4m^2-16&=&0
\\[3pt]~~~4(m^2-4)&=&0
\\[3pt]~~~4(m+2)(m-2)&=&0
\\[3pt]~~~m&=&\pm 2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(m=2\) のとき、\(y=2x+3\)
\(m=-2\) のとき、\(y=-2x+3\)
したがって、接線の方程式は
\(y=2x+3~,~y=-2x+3\) となる
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