数学C｜２次曲線｜問題一覧 ＞ 問題解説 183
183｜軌跡と２次曲線
183
次の条件を満たす点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式を求めよ。
\({\small (1)}~\)長さ \(5\) の線分 \({\rm AB}\) の点 \({\rm A}\) は \(x\) 軸上を、点 \({\rm B}\) は \(y\) 軸上を動くとき、線分 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に内分する点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ア}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{イ}\,}=1\) である。
\({\small (2)}~\)点 \({\rm F}(3~,~0)\) からの距離と \(y\) 軸からの距離の比が \(1:2\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x-\fbox{ウ})^2\,}{\,\fbox{エ}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{オ}\,}=1\) である。
\({\small (3)}~\)点 \({\rm F}(3~,~0)\) からの距離と \(y\) 軸からの距離の比が \(2:1\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x+\fbox{カ})^2\,}{\,\fbox{キ}\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{クケ}\,}=1\) である。
次の条件を満たす点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式を求めよ。
\({\small (1)}~\)長さ \(5\) の線分 \({\rm AB}\) の点 \({\rm A}\) は \(x\) 軸上を、点 \({\rm B}\) は \(y\) 軸上を動くとき、線分 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に内分する点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\fbox{ア}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{イ}\,}=1\) である。
\({\small (2)}~\)点 \({\rm F}(3~,~0)\) からの距離と \(y\) 軸からの距離の比が \(1:2\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x-\fbox{ウ})^2\,}{\,\fbox{エ}\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{オ}\,}=1\) である。
\({\small (3)}~\)点 \({\rm F}(3~,~0)\) からの距離と \(y\) 軸からの距離の比が \(2:1\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x+\fbox{カ})^2\,}{\,\fbox{キ}\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,\fbox{クケ}\,}=1\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
183 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,(x-4)^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3\,}=1\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(x\) 軸上の点 \({\rm A}\) を \((s~,~0)\) 、\(y\) 軸上の点 \({\rm B}\) を \((0~,~t)\) とおくと、
線分 \({\rm AB}\) の長さは \(5\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,s^2+t^2\,}&=&5
\\[3pt]~~~s^2+t^2&=&25~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
線分 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に内分する点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とすると、
\(x=\displaystyle \frac{\,2 \cdot s+3 \cdot 0\,}{\,3+2\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,2 \cdot 0+3 \cdot t\,}{\,3+2\,}\)
\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}s~,~y=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}t\)
これより、
\(s=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}x~,~t=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}y\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}x\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}y\right)^2&=&25
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,25x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,25y^2\,}{\,9\,}&=&25\end{eqnarray}\)
両辺を \(25\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
条件を満たす点 \({\rm P}\) は \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、\({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) となる
\({\small (2)}~\)点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とおくと、
点 \({\rm P}\) と点 \({\rm F}(3~,~0)\) の距離 \({\rm PF}\) は、
\({\rm PF}=\sqrt{\,(x-3)^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から \(y\) 軸に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
\(y\) 軸上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\rm PF}:{\rm PH}=1:2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2{\rm PF}&=&{\rm PH}
\\[3pt]~~~4{\rm PF}^2&=&{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~4\left\{\,(x-3)^2+y^2\,\right\}&=&x^2
\\[3pt]~~~4(x^2-6x+9)-x^2+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~4x^2-x^2-24x+36+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3x^2-24x+36+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-8x)+36+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-8x+16-16)+36+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-8x+16)-48+36+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x-4)^2+4y^2&=&12\end{eqnarray}\)
両辺を \(12\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3(x-4)^2\,}{\,12\,}+\displaystyle \frac{\,4y^2\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x-4)^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの楕円 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの楕円上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(4\) だけ平行移動した楕円 \(\displaystyle \frac{\,(x-4)^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3\,}=1\) となる
\({\small (3)}~\)\({\small (2)}\) と同様に、点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) 、点 \({\rm P}\) から \(y\) 軸に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とおくと、
\({\rm PF}=\sqrt{\,(x-3)^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\rm PH}=|\, x \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\rm PF}:{\rm PH}=2:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PF}&=&2{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PF}^2&=&4{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-3)^2+y^2&=&4x^2
\\[3pt]~~~x^2-6x+9+y^2-4x^2&=&0
\\[3pt]~~~-3x^2-6x+9+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2+2x)+9+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2+2x+1-1)+9+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2+2x+1)+3+9+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x+1)^2+y^2&=&-12
\\[3pt]~~~3(x+1)^2-y^2&=&12\end{eqnarray}\)
両辺を \(12\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3(x+1)^2\,}{\,12\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(-1\) だけ平行移動した双曲線 \(\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) となる
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