数学C｜２次曲線｜問題一覧 ＞ 問題解説 179
179｜２次曲線と直線の共有点
179
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) と直線 \(y=x-2\) の共有点の座標は
\(\hspace{13pt}\)\((\fbox{ア}~,~\fbox{イウ})~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カキ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コサ}\,}\right)\) である。
\({\small (2)}~\)放物線 \(y^2=4x\) と直線 \(y=x+1\) の共有点の座標は \((\fbox{シ}~,~\fbox{ス})\) である。
\({\small (3)}~\)\(k\) を定数とする。楕円 \(x^2+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) と直線 \(y=x+k\) が共有点を \(2\) 個もつような \(k\) の値の範囲は \(\fbox{セ}\sqrt{\,\fbox{ソ}\,} \lt k \lt \sqrt{\,\fbox{タ}\,}\) である。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) と直線 \(y=x-2\) の共有点の座標は
\(\hspace{13pt}\)\((\fbox{ア}~,~\fbox{イウ})~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カキ}\,}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コサ}\,}\right)\) である。
\({\small (2)}~\)放物線 \(y^2=4x\) と直線 \(y=x+1\) の共有点の座標は \((\fbox{シ}~,~\fbox{ス})\) である。
\({\small (3)}~\)\(k\) を定数とする。楕円 \(x^2+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) と直線 \(y=x+k\) が共有点を \(2\) 個もつような \(k\) の値の範囲は \(\fbox{セ}\sqrt{\,\fbox{ソ}\,} \lt k \lt \sqrt{\,\fbox{タ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
179 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\((0~,~-2)~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,36\,}{\,13\,}~,~\displaystyle \frac{\,10\,}{\,13\,}\right)\)
\({\small (2)}~\)\((1~,~2)\)
\({\small (3)}~\)\(-\sqrt{\,5\,} \lt k \lt \sqrt{\,5\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) の両辺に \(9{\, \small \times \,}4\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}{\, \small \times \,}9{\, \small \times \,}4+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}9{\, \small \times \,}4&=&1{\, \small \times \,}9{\, \small \times \,}4
\\[5pt]~~~4x^2+9y^2&=&36\end{eqnarray}\)
この式に \(y=x-2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4x^2+9(x-2)^2&=&36
\\[3pt]~~~4x^2+9(x^2-4x+4)&=&36
\\[3pt]~~~4x^2+9x^2-36x+36&=&36
\\[3pt]~~~13x^2-36x&=&0
\\[3pt]~~~x(13x-36)&=&0
\\[5pt]~~~x&=&0~,~\displaystyle \frac{\,36\,}{\,13\,}\end{eqnarray}\)
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0-2\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
\(x=\displaystyle \frac{\,36\,}{\,13\,}\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,36\,}{\,13\,}-2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,36-26\,}{\,13\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,13\,}\end{eqnarray}\)
したがって、共有点の座標は
\((0~,~-2)~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,36\,}{\,13\,}~,~\displaystyle \frac{\,10\,}{\,13\,}\right)\) となる
\({\small (2)}~\)\(y^2=4x\) に \(y=x+1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+1)^2&=&4x
\\[3pt]~~~x^2+2x+1&=&4x
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&1+1\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、共有点の座標は \((1~,~2)\) となる
\(2\) 次方程式が重解をもつので、直線は放物線に接する。
\({\small (3)}~\)\(x^2+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) の両辺に \(4\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2{\, \small \times \,}4+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}4&=&1{\, \small \times \,}4
\\[5pt]~~~4x^2+y^2&=&4\end{eqnarray}\)
この式に \(y=x+k\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4x^2+(x+k)^2&=&4
\\[3pt]~~~4x^2+x^2+2kx+k^2&=&4
\\[3pt]~~~5x^2+2kx+(k^2-4)&=&0\end{eqnarray}\)
ここで、この \(x\) の \(2\) 次方程式の判別式を \(D\) とすると、共有点の個数は実数解の個数と一致するので、
\(5x^2+2\cdot kx+(k^2-4)=0\) としたときの、\(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=b^{\prime 2}-ac\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&k^2-5(k^2-4)
\\[5pt]~~~&=&k^2-5k^2+20
\\[5pt]~~~&=&-4k^2+20\end{eqnarray}\)
共有点を \(2\) 個もつのは \(D \gt 0\) のときなので、
\(\begin{eqnarray}~~~-4k^2+20&\gt&0
\\[3pt]~~~-4(k^2-5)&\gt&0
\\[3pt]~~~k^2-5&\lt&0
\\[3pt]~~~(k+\sqrt{\,5\,})(k-\sqrt{\,5\,})&\lt&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(-\sqrt{\,5\,} \lt k \lt \sqrt{\,5\,}\) のとき、共有点は \(2\) 個となる
２次曲線｜問題一覧はこちら→
