数学C｜２次曲線｜問題一覧 ＞ 問題解説 184
184｜媒介変数で表された曲線
184
媒介変数で表された点 \({\rm P}(x~,~y)\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(x=\sqrt{\,t\,}~,~\)\(y=t+3\) で表される点 \({\rm P}\) は、放物線 \(y=x^2+\fbox{ア}\) の \(x{\small ~≧~}\fbox{イ}\) の部分を描く。
\({\small (2)}~\)\(x=\cos \theta~,~\)\(y=\sin^2 \theta\) で表される点 \({\rm P}\) は、放物線 \(y=\fbox{ウ}\,x^2+\fbox{エ}\) の \(\fbox{オカ}{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\fbox{キ}\) の部分を描く。
媒介変数で表された点 \({\rm P}(x~,~y)\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(x=\sqrt{\,t\,}~,~\)\(y=t+3\) で表される点 \({\rm P}\) は、放物線 \(y=x^2+\fbox{ア}\) の \(x{\small ~≧~}\fbox{イ}\) の部分を描く。
\({\small (2)}~\)\(x=\cos \theta~,~\)\(y=\sin^2 \theta\) で表される点 \({\rm P}\) は、放物線 \(y=\fbox{ウ}\,x^2+\fbox{エ}\) の \(\fbox{オカ}{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\fbox{キ}\) の部分を描く。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
184 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(y=x^2+3\) の \(x{\small ~≧~}0\) の部分
\({\small (2)}~\)\(y=-x^2+1\) の \(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\) の部分
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=\sqrt{\,t\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\
y=t+3~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\sqrt{\,t\,}{\small ~≧~}0\) より、\(x{\small ~≧~}0\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,t\,}&=&x
\\[3pt]~~~t&=&x^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(y=x^2+3\)
したがって、放物線 \(y=x^2+3\) の \(x{\small ~≧~}0\) の部分となる
\({\small (2)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=\cos \theta~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\
y=\sin^2 \theta~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、\(-1{\small ~≦~}\cos \theta{\small ~≦~}1\) であるので、
\(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\)
また、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sin^2 \theta
\\[3pt]~~~&=&1-\cos^2 \theta\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(y=1-x^2\)
したがって、放物線 \(y=-x^2+1\) の \(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\) の部分となる
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