数学C｜２次曲線｜問題一覧 ＞ 問題解説 188
188｜極方程式と直交座標の方程式
188
極座標 \((r~,~\theta)\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)極方程式 \(r=2(\cos \theta-\sin \theta)\) が表す曲線を直交座標の方程式で表すと、
\(\hspace{13pt}\)\((x-\fbox{ア})^2+(y+\fbox{イ})^2=\fbox{ウ}\) である。
\({\small (2)}~\)極方程式 \(r^2\sin 2\theta=4\) が表す曲線を直交座標の方程式で表すと、\(xy=\fbox{エ}\) である。
\({\small (3)}~\)曲線 \(x^2+y^2-4x=0\) を極方程式で表すと、\(r=\fbox{オ}\cos \theta\) である。
\({\small (4)}~\)曲線 \(x^2+2y^2=2\) を極方程式で表すと、
\(\hspace{13pt}\)\(r^2=\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,1+\sin^2 \theta\,}\) である。
極座標 \((r~,~\theta)\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)極方程式 \(r=2(\cos \theta-\sin \theta)\) が表す曲線を直交座標の方程式で表すと、
\(\hspace{13pt}\)\((x-\fbox{ア})^2+(y+\fbox{イ})^2=\fbox{ウ}\) である。
\({\small (2)}~\)極方程式 \(r^2\sin 2\theta=4\) が表す曲線を直交座標の方程式で表すと、\(xy=\fbox{エ}\) である。
\({\small (3)}~\)曲線 \(x^2+y^2-4x=0\) を極方程式で表すと、\(r=\fbox{オ}\cos \theta\) である。
\({\small (4)}~\)曲線 \(x^2+2y^2=2\) を極方程式で表すと、
\(\hspace{13pt}\)\(r^2=\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,1+\sin^2 \theta\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
188 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\((x-1)^2+(y+1)^2=2\)
\({\small (2)}~\)\(xy=2\)
\({\small (3)}~\)\(r=4\cos \theta\)
\({\small (4)}~\)\(r^2=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\sin^2 \theta\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)極方程式 \(r=2(\cos \theta-\sin \theta)\) について、
両辺に \(r\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~r^2&=&2r(\cos \theta-\sin \theta)
\\[3pt]~~~r^2&=&2r\cos \theta-2r\sin \theta\end{eqnarray}\)
ここで、\(r^2=x^2+y^2~,~\)\(r\cos \theta=x~,~\)\(r\sin \theta=y\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&2x-2y
\\[3pt]~~~x^2-2x+y^2+2y&=&0
\\[3pt]~~~(x^2-2x+1)-1+(y^2+2y+1)-1&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)^2+(y+1)^2&=&2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^2-2x+y^2+2y&=&0
\\[3pt]~~~(x^2-2x+1)-1+(y^2+2y+1)-1&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)^2+(y+1)^2&=&2\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、中心 \((1~,~-1)\) 、半径 \(\sqrt{\,2\,}\) の円となる
\({\small (2)}~\)極方程式 \(r^2\sin 2\theta=4\) について、
\(2\) 倍角の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~r^2 \cdot 2\sin \theta\cos \theta&=&4
\\[3pt]~~~r\cos \theta \cdot r\sin \theta&=&2\end{eqnarray}\)
ここで、\(r\cos \theta=x~,~\)\(r\sin \theta=y\) より、
\(xy=2\)
したがって、双曲線 \(xy=2\) を表す
\({\small (3)}~\)極座標 \((r~,~\theta)\) について、曲線 \(x^2+y^2-4x=0\) より、
\(x=r\cos \theta~,~\)\(y=r\sin \theta\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~(r\cos \theta)^2+(r\sin \theta)^2-4(r\cos \theta)&=&0
\\[3pt]~~~r^2\cos^2 \theta+r^2\sin^2 \theta-4r\cos \theta&=&0
\\[3pt]~~~r^2(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta)&=&4r\cos \theta
\\[3pt]~~~r^2&=&4r\cos \theta\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~r^2\cos^2 \theta+r^2\sin^2 \theta-4r\cos \theta&=&0
\\[3pt]~~~r^2(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta)&=&4r\cos \theta
\\[3pt]~~~r^2&=&4r\cos \theta\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
移項して因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~r^2-4r\cos \theta&=&0
\\[3pt]~~~r(r-4\cos \theta)&=&0\end{eqnarray}\)
これより、\(r=0\) または \(r=4\cos \theta\)
\(r=0\) が表す極 \({\rm O}\) は、\(r=4\cos \theta\) で \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) としたときの点に含まれる
したがって、極方程式は \(r=4\cos \theta\) となる
\({\small (4)}~\)極座標 \((r~,~\theta)\) について、曲線 \(x^2+2y^2=2\) より、
\(x=r\cos \theta~,~\)\(y=r\sin \theta\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~(r\cos \theta)^2+2(r\sin \theta)^2&=&2
\\[3pt]~~~r^2\cos^2 \theta+2r^2\sin^2 \theta&=&2
\\[3pt]~~~r^2(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta+\sin^2 \theta)&=&2
\\[3pt]~~~r^2(1+\sin^2 \theta)&=&2\end{eqnarray}\)
\(1+\sin^2 \theta \neq 0\) より、両辺を \(1+\sin^2 \theta\) で割ると、
\(r^2=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\sin^2 \theta\,}\)
したがって、極方程式は \(r^2=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\sin^2 \theta\,}\) となる
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