共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線の基本問題16問【PDF・解説つき】

181 数学ⅡBC【解答】

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\({\small (1)}~\)\(\sqrt{\,3\,}x+3y=9\)

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\({\small (2)}~\)\(3x-\sqrt{\,3\,}y=3\)

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\({\small (3)}~\)\(y=-2x-2\)

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【より詳しい解説】

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\({\small (1)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) 上の点 \((s~,~t)\) における接線の方程式は、

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　\(\displaystyle \frac{\,sx\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,ty\,}{\,b^2\,}=1\)

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これより、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,6\,}=1\) 上の点 \((\sqrt{\,3\,}~,~2)\) における接線の方程式は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}x\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,6\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}x\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y\,}{\,3\,}&=&1\end{eqnarray}\)

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両辺に \(9\) をかけると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}x\,}{\,9\,}{\, \small \times \,}9+\displaystyle \frac{\,y\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}9&=&1{\, \small \times \,}9
\\[5pt]~~~\sqrt{\,3\,}x+3y&=&9\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\sqrt{\,3\,}x+3y=9\) となる

 
 

\({\small (2)}~\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) 上の点 \((s~,~t)\) における接線の方程式は、

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　\(\displaystyle \frac{\,sx\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,ty\,}{\,b^2\,}=1\)

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これより、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) 上の点 \((4~,~3\sqrt{\,3\,})\) における接線の方程式は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,4x\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,3\,}y\,}{\,9\,}&=&1
\\[5pt]~~~x-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}y\,}{\,3\,}&=&1\end{eqnarray}\)

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両辺に \(3\) をかけると、

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\(\begin{eqnarray}~~~x{\, \small \times \,}3-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}y\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}3&=&1{\, \small \times \,}3
\\[5pt]~~~3x-\sqrt{\,3\,}y&=&3\end{eqnarray}\)

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したがって、\(3x-\sqrt{\,3\,}y=3\) となる

 
 

\({\small (3)}~\)\(y^2=4px\) 上の点 \((s~,~t)\) における接線の方程式は、

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　\(ty=2p(x+s)\)

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これより、\(y^2=16x=4\cdot 4x\) 上の点 \((1~,~-4)\) における接線の方程式は、

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\(\begin{eqnarray}~~~-4y&=&2 \cdot 4 \cdot (x+1)
\\[3pt]~~~-4y&=&8(x+1)
\\[3pt]~~~y&=&-2(x+1)
\\[3pt]~~~y&=&-2x-2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(y=-2x-2\) となる