数学C｜２次曲線｜問題一覧 ＞ 問題解説 177
177｜平行移動した２次曲線の方程式
177
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)放物線 \(y^2=4x\) の焦点は \((\fbox{ア}~,~0)\) であり、\(x\) 軸方向に \(1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) だけ平行移動すると、
\(\hspace{13pt}\)\((y+\fbox{イ})^2=\fbox{ウ}(x-\fbox{エ})\) であり、
焦点は \((\fbox{オ}~,~\fbox{カキ})\) である。
\({\small (2)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,7\,}=1\) の焦点は \((\fbox{ク}~,~0)~,~\)\((\fbox{ケコ}~,~0)\) であり、\(x\) 軸方向に \(-3\) 、\(y\) 軸方向に \(1\) だけ平行移動すると、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x+\fbox{サ})^2\,}{\,\fbox{シス}\,}+\displaystyle \frac{\,(y-\fbox{セ})^2\,}{\,\fbox{ソ}\,}=1\) であり、
焦点は \((\fbox{タ}~,~\fbox{チ})~,~\)\((\fbox{ツテ}~,~\fbox{ト})\) である。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)放物線 \(y^2=4x\) の焦点は \((\fbox{ア}~,~0)\) であり、\(x\) 軸方向に \(1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) だけ平行移動すると、
\(\hspace{13pt}\)\((y+\fbox{イ})^2=\fbox{ウ}(x-\fbox{エ})\) であり、
焦点は \((\fbox{オ}~,~\fbox{カキ})\) である。
\({\small (2)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,7\,}=1\) の焦点は \((\fbox{ク}~,~0)~,~\)\((\fbox{ケコ}~,~0)\) であり、\(x\) 軸方向に \(-3\) 、\(y\) 軸方向に \(1\) だけ平行移動すると、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x+\fbox{サ})^2\,}{\,\fbox{シス}\,}+\displaystyle \frac{\,(y-\fbox{セ})^2\,}{\,\fbox{ソ}\,}=1\) であり、
焦点は \((\fbox{タ}~,~\fbox{チ})~,~\)\((\fbox{ツテ}~,~\fbox{ト})\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
177 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)焦点 \((1~,~0)\)
\(\hspace{13pt}\)\((y+2)^2=4(x-1)\) 焦点 \((2~,~-2)\)
\({\small (2)}~\)焦点 \((3~,~0)~,~(-3~,~0)\)
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x+3)^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,(y-1)^2\,}{\,7\,}=1\)
\(\hspace{13pt}\)焦点 \((0~,~1)~,~(-6~,~1)\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)曲線 \(y^2=4x\) について、
\(y^2=4 \cdot 1 \cdot x\)
これより、\(p=1\) となるので、
焦点は \((1~,~0)\)
\(x\) 軸方向に \(1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) 平行移動するので、
\(x \rightarrow x-1\)
\(y \rightarrow y-(-2)=y+2\)
と置き換えると考える
曲線 \(y^2=4x\) を \(x\) 軸方向に \(1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) 平行移動すると、
\((y+2)^2=4(x-1)\)
また、焦点は、
\((1+1~,~0-2)=(2~,~-2)\)
したがって、
\((y+2)^2=4(x-1)\)、焦点 \((2~,~-2)\) となる
\({\small (2)}~\)曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,7\,}=1\) について、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,(\sqrt{\,7\,})^2\,}=1\)
これより、\(a=4~,~b=\sqrt{\,7\,}\) となるので、
\(c=\sqrt{\,a^2-b^2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\sqrt{\,4^2-(\sqrt{\,7\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16-7\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9\,}
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
よって、焦点は \((3~,~0)~,~\)\((-3~,~0)\)
\(x\) 軸方向に \(-3\) 、\(y\) 軸方向に \(1\) 平行移動するので、
\(x \rightarrow x-(-3)=x+3\)
\(y \rightarrow y-1\)
と置き換えると考える
曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,7\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(-3\) 、\(y\) 軸方向に \(1\) 平行移動すると、
\(\displaystyle \frac{\,(x+3)^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,(y-1)^2\,}{\,7\,}=1\)
また、焦点は、
\((3-3~,~0+1)=(0~,~1)\)
\((-3-3~,~0+1)=(-6~,~1)\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,(x+3)^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,(y-1)^2\,}{\,7\,}=1\)、
焦点 \((0~,~1)~,~(-6~,~1)\) となる
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