数学C｜２次曲線｜問題一覧 ＞ 問題解説 173
173｜放物線の定義と焦点・準線
173
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)放物線 \(y^2=8x\) の
\(\hspace{13pt}\)焦点は点 \((\fbox{ア}~,~\fbox{イ})\) 、
\(\hspace{13pt}\)準線は直線 \(x=\fbox{ウエ}\) である。
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=x^2\) の
\(\hspace{13pt}\)焦点は点 \(\left(\fbox{オ}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キ}\,}\right)\) 、
\(\hspace{13pt}\)準線は直線 \(y=\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)点 \((-3~,~0)\) からの距離と、直線 \(x=3\) からの距離が等しい点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、放物線 \(y^2=\fbox{サシ}\,x\) である。
\({\small (4)}~\)焦点が \((0~,~-2)\) 、準線が直線 \(y=2\) である放物線の方程式は \(x^2=\fbox{スセ}\,y\) である。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)放物線 \(y^2=8x\) の
\(\hspace{13pt}\)焦点は点 \((\fbox{ア}~,~\fbox{イ})\) 、
\(\hspace{13pt}\)準線は直線 \(x=\fbox{ウエ}\) である。
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=x^2\) の
\(\hspace{13pt}\)焦点は点 \(\left(\fbox{オ}~,~\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\,}{\,\fbox{キ}\,}\right)\) 、
\(\hspace{13pt}\)準線は直線 \(y=\displaystyle \frac{\,\fbox{クケ}\,}{\,\fbox{コ}\,}\) である。
\({\small (3)}~\)点 \((-3~,~0)\) からの距離と、直線 \(x=3\) からの距離が等しい点 \({\rm P}\) の軌跡の方程式は、放物線 \(y^2=\fbox{サシ}\,x\) である。
\({\small (4)}~\)焦点が \((0~,~-2)\) 、準線が直線 \(y=2\) である放物線の方程式は \(x^2=\fbox{スセ}\,y\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
173 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)焦点 \((2~,~0)\) 準線 \(x=-2\)
\({\small (2)}~\)焦点 \(\left(\,0~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,\right)\) 準線 \(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
\({\small (3)}~\)\(y^2=-12x\)
\({\small (4)}~\)\(x^2=-8y\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(y^2=8x\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2&=&4 \cdot 2 \cdot x\end{eqnarray}\)
これより、\(p=2\) となるので、
頂点が原点、焦点が \({\rm F}(2~,~0)\) 、
準線が \(x=-2\) 、\(x\) 軸が軸の放物線となる
\({\small (2)}~\)\(y=x^2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&y
\\[5pt]~~~x^2&=&4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot y\end{eqnarray}\)
これより、\(p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) となるので、
頂点が原点、焦点が \({\rm F}\left(\,0~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,\right)\) 、
準線が \(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) 、\(y\) 軸が軸の放物線となる
\({\small (3)}~\)\(1\) つの定点と、その点を通らない \(1\) つの定直線からの距離が等しい点の軌跡は放物線である
点 \({\rm P}\) の座標を \((x~,~y)\) とすると、
点 \((-3~,~0)\) からの距離は \(\sqrt{\,(x+3)^2+y^2\,}\)
直線 \(x=3\) からの距離は \(|\,x-3\,|\)
これらが等しいので、
\(\sqrt{\,(x+3)^2+y^2\,}=|\,x-3\,|\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+3)^2+y^2&=&(x-3)^2
\\[3pt]~~~x^2+6x+9+y^2&=&x^2-6x+9
\\[3pt]~~~y^2&=&-12x\end{eqnarray}\)
したがって、放物線の方程式は \(y^2=-12x\) となる
なお、\(y^2=4px\) の焦点は \((p~,~0)\) 、準線は \(x=-p\) であるから、
\(p=-3\) として \(y^2=4 \cdot (-3) \cdot x=-12x\) と求めることもできる
\({\small (4)}~\)焦点が \((0~,~-2)\) 、準線が \(y=2\) より、
これより、\(p=-2\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&4 \cdot (-2) \cdot y
\\[3pt]~~~x^2&=&-8y\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^2=-8y\) となる
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