数学C｜２次曲線｜問題一覧 ＞ 問題解説 178
178｜２次曲線の方程式の変形
178
次の方程式が表す図形について、下の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)方程式 \(9x^2+25y^2-18x+100y-116=0\) を式変形すると、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x-\fbox{ア})^2\,}{\,\fbox{イウ}\,}+\displaystyle \frac{\,(y+\fbox{エ})^2\,}{\,\fbox{オ}\,}=1\)
これより、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\) を平行移動した図形である。
\({\small (2)}~\)方程式 \(9x^2-4y^2+18x+16y-43=0\) を式変形すると、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x+\fbox{キ})^2\,}{\,\fbox{ク}\,}-\displaystyle \frac{\,(y-\fbox{ケ})^2\,}{\,\fbox{コ}\,}=1\)
これより、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{サ}\) を平行移動した図形である。
\({\small (3)}~\)方程式 \(y^2-6y-8x+1=0\) を式変形すると、
\(\hspace{13pt}\)\((y-\fbox{シ})^2=\fbox{ス}(x+\fbox{セ})\)
これより、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ソ}\) を平行移動した図形である。
選択肢：⓪ 円 ① 楕円 ② 双曲線
③ 放物線 ④ 直線
次の方程式が表す図形について、下の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)方程式 \(9x^2+25y^2-18x+100y-116=0\) を式変形すると、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x-\fbox{ア})^2\,}{\,\fbox{イウ}\,}+\displaystyle \frac{\,(y+\fbox{エ})^2\,}{\,\fbox{オ}\,}=1\)
これより、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{カ}\) を平行移動した図形である。
\({\small (2)}~\)方程式 \(9x^2-4y^2+18x+16y-43=0\) を式変形すると、
\(\hspace{13pt}\)\(\displaystyle \frac{\,(x+\fbox{キ})^2\,}{\,\fbox{ク}\,}-\displaystyle \frac{\,(y-\fbox{ケ})^2\,}{\,\fbox{コ}\,}=1\)
これより、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{サ}\) を平行移動した図形である。
\({\small (3)}~\)方程式 \(y^2-6y-8x+1=0\) を式変形すると、
\(\hspace{13pt}\)\((y-\fbox{シ})^2=\fbox{ス}(x+\fbox{セ})\)
これより、\(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ソ}\) を平行移動した図形である。
選択肢：⓪ 円 ① 楕円 ② 双曲線
③ 放物線 ④ 直線
共通テスト数学ⅡBC｜２次曲線
178 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle \frac{\,(x-1)^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,(y+2)^2\,}{\,9\,}=1\) 楕円①
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,(y-2)^2\,}{\,9\,}=1\) 双曲線②
\({\small (3)}~\)\((y-3)^2=8(x+1)\) 放物線③
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(9x^2+25y^2-18x+100y-116=0\) について、
\(x\) と \(y\) それぞれの文字で平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(9x^2-18x)+(25y^2+100y)&=&116
\\[3pt]~~~9(x^2-2x)+25(y^2+4y)&=&116
\\[3pt]~~~9(x^2-2x+1-1)+25(y^2+4y+4-4)&=&116
\\[3pt]~~~9(x^2-2x+1)-9+25(y^2+4y+4)-100&=&116
\\[3pt]~~~9(x-1)^2+25(y+2)^2&=&116+9+100
\\[3pt]~~~9(x-1)^2+25(y+2)^2&=&225\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~9(x^2-2x)+25(y^2+4y)&=&116
\\[3pt]~~~9(x^2-2x+1-1)+25(y^2+4y+4-4)&=&116
\\[3pt]~~~9(x^2-2x+1)-9+25(y^2+4y+4)-100&=&116
\\[3pt]~~~9(x-1)^2+25(y+2)^2&=&116+9+100
\\[3pt]~~~9(x-1)^2+25(y+2)^2&=&225\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺を \(225\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,9(x-1)^2\,}{\,225\,}+\displaystyle \frac{\,25(y+2)^2\,}{\,225\,}&=&\displaystyle \frac{\,225\,}{\,225\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x-1)^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,(y+2)^2\,}{\,9\,}&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、
楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) だけ平行移動した楕円となる
\({\small (2)}~\)\(9x^2-4y^2+18x+16y-43=0\) について、
\(x\) と \(y\) それぞれの文字で平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(9x^2+18x)-(4y^2-16y)&=&43
\\[3pt]~~~9(x^2+2x)-4(y^2-4y)&=&43
\\[3pt]~~~9(x^2+2x+1-1)-4(y^2-4y+4-4)&=&43
\\[3pt]~~~9(x^2+2x+1)-9-4(y^2-4y+4)+16&=&43
\\[3pt]~~~9(x+1)^2-4(y-2)^2&=&43+9-16
\\[3pt]~~~9(x+1)^2-4(y-2)^2&=&36\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~9(x^2+2x)-4(y^2-4y)&=&43
\\[3pt]~~~9(x^2+2x+1-1)-4(y^2-4y+4-4)&=&43
\\[3pt]~~~9(x^2+2x+1)-9-4(y^2-4y+4)+16&=&43
\\[3pt]~~~9(x+1)^2-4(y-2)^2&=&43+9-16
\\[3pt]~~~9(x+1)^2-4(y-2)^2&=&36\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺を \(36\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,9(x+1)^2\,}{\,36\,}-\displaystyle \frac{\,4(y-2)^2\,}{\,36\,}&=&\displaystyle \frac{\,36\,}{\,36\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,(y-2)^2\,}{\,9\,}&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、
双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(-1\) 、\(y\) 軸方向に \(2\) だけ平行移動した双曲線となる
\({\small (3)}~\)\(y^2-6y-8x+1=0\) について、
\(y\) について平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2-6y&=&8x-1
\\[3pt]~~~(y^2-6y+9)-9&=&8x-1
\\[3pt]~~~(y-3)^2&=&8x-1+9
\\[3pt]~~~(y-3)^2&=&8x+8
\\[3pt]~~~(y-3)^2&=&8(x+1)\end{eqnarray}\)
したがって、
放物線 \(y^2=8x\) を \(x\) 軸方向に \(-1\) 、\(y\) 軸方向に \(3\) だけ平行移動した放物線となる
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