数学C｜複素数平面｜問題一覧 ＞ 問題解説 158
158｜複素数の絶対値の2乗と式の値
158
次の複素数について、それぞれの値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(|\,\alpha\,|=2~,~\)\(|\,\beta\,|=3~,~\)\(|\,\alpha+\beta\,|=4\) のとき、
\(\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta=\fbox{ア}\) であり、
\(|\,\alpha-\beta\,|=\sqrt{\,\fbox{イウ}\,}\) である。
\({\small (2)}~\)\(|\,\gamma\,|=3~,~\)\(|\,\gamma+2\,|=2\) のとき、
\(\gamma+\overline{\gamma}=\displaystyle \frac{\,\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カ}\,}\) である。
次の複素数について、それぞれの値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(|\,\alpha\,|=2~,~\)\(|\,\beta\,|=3~,~\)\(|\,\alpha+\beta\,|=4\) のとき、
\(\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta=\fbox{ア}\) であり、
\(|\,\alpha-\beta\,|=\sqrt{\,\fbox{イウ}\,}\) である。
\({\small (2)}~\)\(|\,\gamma\,|=3~,~\)\(|\,\gamma+2\,|=2\) のとき、
\(\gamma+\overline{\gamma}=\displaystyle \frac{\,\fbox{エオ}\,}{\,\fbox{カ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
158 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta=3~,~|\,\alpha-\beta\,|=\sqrt{\,10\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\gamma+\overline{\gamma}=-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(|\, \alpha+\beta \,|=4\) より、\(2\) 乗の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, \alpha+\beta \,|^2&=&4^2\\[3pt]~~~(\alpha+\beta)\overline{(\alpha+\beta)}&=&16\\[3pt]~~~(\alpha+\beta)(\overline{\alpha}+\overline{\beta})&=&16\\[3pt]~~~\alpha\overline{\alpha}+\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta+\beta\overline{\beta}&=&16\end{eqnarray}\)
ここで、\(|\, \alpha \,|=2~,~|\, \beta \,|=3\) の \(2\) 乗の値より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\overline{\alpha}=|\, \alpha \,|^2&=&2^2\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\beta\overline{\beta}=|\, \beta \,|^2&=&3^2\\[3pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~4+\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta+9&=&16\\[3pt]~~~\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta&=&16-13\\[3pt]~~~\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\(\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta=3\) となる
\(|\, \alpha-\beta \,|\) の \(2\) 乗の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, \alpha-\beta \,|^2&=&(\alpha-\beta)\overline{(\alpha-\beta)}\\[3pt]~~~&=&(\alpha-\beta)(\overline{\alpha}-\overline{\beta})\\[3pt]~~~&=&\alpha\overline{\alpha}-(\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta)+\beta\overline{\beta}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\alpha\overline{\alpha}=4~,~\)\(\beta\overline{\beta}=9~,~\)\(\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta=3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, \alpha-\beta \,|^2&=&4-3+9\\[3pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)
よって、\(|\, \alpha-\beta \,|\gt 0\) より、
\(|\, \alpha-\beta \,|=\sqrt{\,10\,}\)
したがって、\(|\, \alpha-\beta \,|=\sqrt{\,10\,}\) となる
\({\small (2)}~\)\(|\, \gamma+2 \,|=2\) より、\(2\) 乗の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\, \gamma+2 \,|^2&=&2^2\\[3pt]~~~(\gamma+2)\overline{(\gamma+2)}&=&4\\[3pt]~~~(\gamma+2)(\overline{\gamma}+2)&=&4\\[3pt]~~~\gamma\overline{\gamma}+2(\gamma+\overline{\gamma})+4&=&4\end{eqnarray}\)
ここで、\(|\, \gamma \,|=3\) の \(2\) 乗の値より、
\(\begin{eqnarray}~~~\gamma\overline{\gamma}=|\, \gamma \,|^2&=&3^2\\[3pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~9+2(\gamma+\overline{\gamma})+4&=&4\\[3pt]~~~2(\gamma+\overline{\gamma})&=&-9\\[5pt]~~~\gamma+\overline{\gamma}&=&-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\gamma+\overline{\gamma}=-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\) となる
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