数学C｜複素数平面｜問題一覧 ＞ 問題解説 165
165｜1のn乗根とzⁿ-1の因数分解
165
\(z=\cos \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi\) のとき、
\(z^5=\fbox{ア}\) であり、\(z^5-\fbox{ア}=0\) として左辺を因数分解すると、
\((z-\fbox{イ})(z^4+z^3+z^2+z+\fbox{ウ})=0\)
これより、\(z\ne1\) であるから、
\(z^4+z^3+z^2+z+1=\fbox{エ}\) である。
\(z=\cos \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi\) のとき、
\(z^5=\fbox{ア}\) であり、\(z^5-\fbox{ア}=0\) として左辺を因数分解すると、
\((z-\fbox{イ})(z^4+z^3+z^2+z+\fbox{ウ})=0\)
これより、\(z\ne1\) であるから、
\(z^4+z^3+z^2+z+1=\fbox{エ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
165 数学ⅡBC【解答】
\(z^5=1\)
\((z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0\)
\(z^4+z^3+z^2+z+1=0\)
【より詳しい解説】
\(z=\cos \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi\) について、
ド・モアブルの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~z^5&=&\left(\cos \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi\right)^5
\\[5pt]~~~&=&\cos 5 \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi+i\sin 5 \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\cos 2\pi+i\sin 2\pi
\\[5pt]~~~&=&1+i \cdot 0
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
これより、
\(z^5-1=0\)
因数分解すると、
\((z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0\)
\(z\ne1\) より、
\(z^4+z^3+z^2+z+1=0\)
したがって、\(z^4+z^3+z^2+z+1=0\) となる
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