数学C｜複素数平面｜問題一覧 ＞ 問題解説 162
162｜複素数の回転移動
162
次の点を表す複素数を求めよ。
\({\small (1)}~\)点 \(1+\sqrt{\,3\,}i\) を原点 \({\rm O}\) を中心に
\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) だけ回転させた点は \(\fbox{ア}\,i\) であり、
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) だけ回転させた点は \(\sqrt{\,\fbox{イ}\,}-i\) である。
\({\small (2)}~\)\(\alpha=2-3i~,~\)\(\beta=1+4i\) とする。点 \(\beta\) を点 \(\alpha\) を中心として \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) だけ回転した点を表す複素数を \(\gamma\) とすると、\(\gamma=\fbox{ウエ}-\fbox{オ}\,i\) である。
次の点を表す複素数を求めよ。
\({\small (1)}~\)点 \(1+\sqrt{\,3\,}i\) を原点 \({\rm O}\) を中心に
\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) だけ回転させた点は \(\fbox{ア}\,i\) であり、
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) だけ回転させた点は \(\sqrt{\,\fbox{イ}\,}-i\) である。
\({\small (2)}~\)\(\alpha=2-3i~,~\)\(\beta=1+4i\) とする。点 \(\beta\) を点 \(\alpha\) を中心として \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) だけ回転した点を表す複素数を \(\gamma\) とすると、\(\gamma=\fbox{ウエ}-\fbox{オ}\,i\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
162 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(2i~,~\sqrt{\,3\,}-i\)
\({\small (2)}~\)\(\gamma=-5-4i\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(1+\sqrt{\,3\,}i\) を \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) だけ回転させると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)(1+\sqrt{\,3\,}i)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}i\right)(1+\sqrt{\,3\,}i)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}i+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}i+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right)+2i
\\[5pt]~~~&=&2i\end{eqnarray}\)
したがって、\(2i\) となる
\(1+\sqrt{\,3\,}i\) を \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) だけ回転させると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\right)(1+\sqrt{\,3\,}i)
\\[5pt]~~~&=&(0-i)(1+\sqrt{\,3\,}i)
\\[5pt]~~~&=&-i(1+\sqrt{\,3\,}i)
\\[5pt]~~~&=&-i-\sqrt{\,3\,}i^2
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,3\,}-i\end{eqnarray}\)
したがって、\(\sqrt{\,3\,}-i\) となる
\({\small (2)}~\)点 \(\beta\) を点 \(\alpha\) を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) だけ回転した点が \(\gamma\)より、
\(\gamma-\alpha=\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)(\beta-\alpha)\)
\(\alpha=2-3i~,~\beta=1+4i\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\gamma-(2-3i)&=&(0+i \cdot 1)\{(1+4i)-(2-3i)\}
\\[3pt]~~~\gamma&=&i(1+4i-2+3i)+(2-3i)
\\[3pt]~~~\gamma&=&i(-1+7i)+2-3i
\\[3pt]~~~\gamma&=&-i+7i^2+2-3i
\\[3pt]~~~\gamma&=&-7+2-i-3i
\\[3pt]~~~\gamma&=&-5-4i\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~\gamma&=&i(1+4i-2+3i)+(2-3i)
\\[3pt]~~~\gamma&=&i(-1+7i)+2-3i
\\[3pt]~~~\gamma&=&-i+7i^2+2-3i
\\[3pt]~~~\gamma&=&-7+2-i-3i
\\[3pt]~~~\gamma&=&-5-4i\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(\gamma=-5-4i\) となる
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