数学C｜複素数平面｜問題一覧 ＞ 問題解説 163
163｜ド・モアブルの定理
163
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\((1+\sqrt{\,3\,}i)^9=\fbox{アイウエ}\)
\({\small (2)}~\)\((2-2i)^5=\fbox{オカキク}+\fbox{ケコサ}\,i\)
\({\small (3)}~\)\((1+i)^n\) が実数となる最小の自然数 \(n\) は \(n=\fbox{シ}\) である。
\({\small (4)}~\)\((\sqrt{\,3\,}-i)^n\) が純虚数となる最小の自然数 \(n\) は \(n=\fbox{ス}\) である。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\((1+\sqrt{\,3\,}i)^9=\fbox{アイウエ}\)
\({\small (2)}~\)\((2-2i)^5=\fbox{オカキク}+\fbox{ケコサ}\,i\)
\({\small (3)}~\)\((1+i)^n\) が実数となる最小の自然数 \(n\) は \(n=\fbox{シ}\) である。
\({\small (4)}~\)\((\sqrt{\,3\,}-i)^n\) が純虚数となる最小の自然数 \(n\) は \(n=\fbox{ス}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
163 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(-512\)
\({\small (2)}~\)\(-128+128i\)
\({\small (3)}~\)\(n=4\)
\({\small (4)}~\)\(n=3\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(1+\sqrt{\,3\,}i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,1+\sqrt{\,3\,}i\,|&=&\sqrt{\,1+(\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、偏角は \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
よって、
\(1+\sqrt{\,3\,}i=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\)
ド・モアブルの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~(1+\sqrt{\,3\,}i)^9&=&2^9 \cdot \left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)^9
\\[5pt]~~~&=&512 \cdot \left(\cos 9 \cdot \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin 9 \cdot \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&512(\cos 3\pi+i\sin 3\pi)
\\[5pt]~~~&=&512(-1+i \cdot 0)
\\[5pt]~~~&=&-512\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&512 \cdot \left(\cos 9 \cdot \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin 9 \cdot \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&512(\cos 3\pi+i\sin 3\pi)
\\[5pt]~~~&=&512(-1+i \cdot 0)
\\[5pt]~~~&=&-512\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(-512\) となる
\({\small (2)}~\)\(2-2i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,2-2i\,|&=&\sqrt{\,2^2+(-2)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,8\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,-2\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、偏角は \(\theta=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
よって、
\(2-2i=2\sqrt{\,2\,}\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ド・モアブルの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~(2-2i)^5&=&(2\sqrt{\,2\,})^5 \cdot \left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}^5
\\[5pt]~~~&=&128\sqrt{\,2\,} \cdot \left\{\cos 5 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+i\sin 5 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&128\sqrt{\,2\,}\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&128\sqrt{\,2\,}\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i\right)
\\[5pt]~~~&=&-128+128i\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&128\sqrt{\,2\,} \cdot \left\{\cos 5 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+i\sin 5 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&128\sqrt{\,2\,}\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&128\sqrt{\,2\,}\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i\right)
\\[5pt]~~~&=&-128+128i\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(-128+128i\) となる
\({\small (3)}~\)\(1+i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,1+i\,|&=&\sqrt{\,1^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、偏角は \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
よって、
\(1+i=\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\)
ド・モアブルの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~(1+i)^n&=&(\sqrt{\,2\,})^n \cdot \left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)^n
\\[5pt]~~~&=&(\sqrt{\,2\,})^n\left(\cos \displaystyle \frac{\,n\,}{\,4\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,n\,}{\,4\,}\pi\right)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&(\sqrt{\,2\,})^n\left(\cos \displaystyle \frac{\,n\,}{\,4\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,n\,}{\,4\,}\pi\right)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これが実数となるのは、虚部が \(0\) のときなので、
\(\sin \displaystyle \frac{\,n\,}{\,4\,}\pi=0\)
\(\displaystyle \frac{\,n\,}{\,4\,}\pi\) が \(\pi\) の整数倍になればよいので、\(n\) は \(4\) の倍数となる
このとき、最小の自然数は \(n=4\) で、
\(\begin{eqnarray}~~~(1+i)^4&=&(\sqrt{\,2\,})^4(\cos \pi+i\sin \pi)
\\[5pt]~~~&=&4(-1+i \cdot 0)
\\[5pt]~~~&=&-4\end{eqnarray}\)
となり、たしかに実数になる
したがって、\(n=4\) となる
\({\small (4)}~\)\(\sqrt{\,3\,}-i\) の絶対値は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\sqrt{\,3\,}-i\,|&=&\sqrt{\,(\sqrt{\,3\,})^2+(-1)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,3+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}~,~\)\(\sin \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、偏角は \(\theta=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
よって、
\(\sqrt{\,3\,}-i=2\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\right\}\)
ド・モアブルの定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~(\sqrt{\,3\,}-i)^n&=&2^n \cdot \left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\right\}^n
\\[5pt]~~~&=&2^n\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,n\,}{\,6\,}\pi\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,n\,}{\,6\,}\pi\right)\right\}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&2^n\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,n\,}{\,6\,}\pi\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,n\,}{\,6\,}\pi\right)\right\}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これが純虚数となるのは、実部が \(0\) で、虚部が \(0\) でないときなので、
\(\cos \left(-\displaystyle \frac{\,n\,}{\,6\,}\pi\right)=0\)
\(n\) は自然数なので \(-\displaystyle \frac{\,n\,}{\,6\,}\pi\) は負の角となり、このうち最初に実部が \(0\) になるのは、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,n\,}{\,6\,}\pi&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,n\,}{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~n&=&3\end{eqnarray}\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~(\sqrt{\,3\,}-i)^3&=&2^3\left\{\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)+i\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&8\{0+i \cdot (-1)\}
\\[5pt]~~~&=&-8i\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&8\{0+i \cdot (-1)\}
\\[5pt]~~~&=&-8i\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
となり、たしかに純虚数になる
したがって、\(n=3\) となる
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