数学C｜複素数平面｜問題一覧 ＞ 問題解説 167
167｜複素数の方程式が表す図形
167
次の方程式を満たす点 \(z\) 全体の集合は、どのような図形を表すか。
\({\small (1)}~\)\(|\,z+2-3i\,|=1\) は、
点 \(\fbox{アイ}+\fbox{ウ}\,i\) を中心とする半径 \(\fbox{エ}\) の円を表す。
\({\small (2)}~\)\((z-i)(\overline{z}+i)=4\) は、
\(|\,z-i\,|^2=\fbox{オ}\) と変形できるから、点 \(i\) を中心とする半径 \(\fbox{カ}\) の円を表す。
\({\small (3)}~\)\(|\,z+2-3i\,|=|\,z+i\,|\) は、
\(2\) 点 \({\rm A}(\fbox{キク}+\fbox{ケ}\,i)~,~\)\({\rm B}(\fbox{コ}\,i)\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の垂直二等分線を表す。
\({\small (4)}~\)\(2|\,z-i\,|=|\,z+2i\,|\) は、
点 \(\fbox{サ}\,i\) を中心とする半径 \(\fbox{シ}\) の円を表す。
次の方程式を満たす点 \(z\) 全体の集合は、どのような図形を表すか。
\({\small (1)}~\)\(|\,z+2-3i\,|=1\) は、
点 \(\fbox{アイ}+\fbox{ウ}\,i\) を中心とする半径 \(\fbox{エ}\) の円を表す。
\({\small (2)}~\)\((z-i)(\overline{z}+i)=4\) は、
\(|\,z-i\,|^2=\fbox{オ}\) と変形できるから、点 \(i\) を中心とする半径 \(\fbox{カ}\) の円を表す。
\({\small (3)}~\)\(|\,z+2-3i\,|=|\,z+i\,|\) は、
\(2\) 点 \({\rm A}(\fbox{キク}+\fbox{ケ}\,i)~,~\)\({\rm B}(\fbox{コ}\,i)\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の垂直二等分線を表す。
\({\small (4)}~\)\(2|\,z-i\,|=|\,z+2i\,|\) は、
点 \(\fbox{サ}\,i\) を中心とする半径 \(\fbox{シ}\) の円を表す。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
167 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)点 \(-2+3i\) を中心とする半径 \(1\) の円
\({\small (2)}~\)\(|\,z-i\,|^2=4\) 点 \(i\) を中心とする半径 \(2\) の円
\({\small (3)}~\)\(2\) 点 \({\rm A}(-2+3i)~,~\)\({\rm B}(-i)\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の垂直二等分線
\({\small (4)}~\)点 \(2i\) を中心とする半径 \(2\) の円
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)方程式 \(|\,z+2-3i\,|=1\) は、
\(|\,z-(-2+3i)\,|=1\)
これより、点 \(-2+3i\) を中心、半径 \(1\) の円を表す
\({\small (2)}~\)方程式 \((z-i)(\overline{z}+i)=4\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~(z-i)(\overline{z}+i)&=&4
\\[3pt]~~~(z-i)(\overline{z-i})&=&4
\\[3pt]~~~|\,z-i\,|^2&=&4\end{eqnarray}\)
これより、\(|\,z-i\,|=2\) となるので、点 \(i\) を中心、半径 \(2\) の円を表す
\({\small (3)}~\)方程式 \(|\,z+2-3i\,|=|\,z+i\,|\) は、
\(|\,z-(-2+3i)\,|=|\,z-(-i)\,|\)
これより、\(2\) 点 \({\rm A}(-2+3i)~,~\)\({\rm B}(-i)\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の垂直二等分線を表す
\({\small (4)}~\)\(2|\,z-i\,|=|\,z+2i\,|\) の両辺を \(2\) 乗すると、\(|\,\alpha\,|^2=\alpha\overline{\alpha}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2^2|\,z-i\,|^2&=&|\,z+2i\,|^2
\\[3pt]~~~4(z-i)\overline{(z-i)}&=&(z+2i)\overline{(z+2i)}
\\[3pt]~~~4(z-i)(\overline{z}+i)&=&(z+2i)(\overline{z}-2i)
\\[3pt]~~~4(z\overline{z}+iz-i\overline{z}-i^2)&=&z\overline{z}-2iz+2i\overline{z}-4i^2
\\[3pt]~~~4z\overline{z}+4iz-4i\overline{z}+4&=&z\overline{z}-2iz+2i\overline{z}+4
\\[3pt]~~~3z\overline{z}+6iz-6i\overline{z}&=&0
\\[3pt]~~~z\overline{z}+2iz-2i\overline{z}&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~4(z-i)\overline{(z-i)}&=&(z+2i)\overline{(z+2i)}
\\[3pt]~~~4(z-i)(\overline{z}+i)&=&(z+2i)(\overline{z}-2i)
\\[3pt]~~~4(z\overline{z}+iz-i\overline{z}-i^2)&=&z\overline{z}-2iz+2i\overline{z}-4i^2
\\[3pt]~~~4z\overline{z}+4iz-4i\overline{z}+4&=&z\overline{z}-2iz+2i\overline{z}+4
\\[3pt]~~~3z\overline{z}+6iz-6i\overline{z}&=&0
\\[3pt]~~~z\overline{z}+2iz-2i\overline{z}&=&0\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(z\) で整理し、\(\overline{z}+2i\) をつくり因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\overline{z}+2i)z-2i\overline{z}&=&0
\\[3pt]~~~(\overline{z}+2i)z-2i\overline{z}-4i^2+4i^2&=&0
\\[3pt]~~~(\overline{z}+2i)z-2i(\overline{z}+2i)+4i^2&=&0
\\[3pt]~~~(z-2i)(\overline{z}+2i)-4&=&0
\\[3pt]~~~(z-2i)(\overline{z}+2i)&=&4
\\[3pt]~~~(z-2i)\overline{(z-2i)}&=&4
\\[3pt]~~~|\,z-2i\,|^2&=&4
\\[3pt]~~~|\,z-2i\,|&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、点 \(2i\) を中心、半径 \(2\) の円を表す
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