数学C｜複素数平面｜問題一覧 ＞ 問題解説 164
164｜方程式の解と極形式
164
方程式 \(z^3=8i\) の解は、
\(z=\sqrt{\,\fbox{ア}\,}+i~,~\)\(\fbox{イ}\sqrt{\,\fbox{ウ}\,}+i~,~\)\(\fbox{エオ}\,i\) である。
方程式 \(z^3=8i\) の解は、
\(z=\sqrt{\,\fbox{ア}\,}+i~,~\)\(\fbox{イ}\sqrt{\,\fbox{ウ}\,}+i~,~\)\(\fbox{エオ}\,i\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
164 数学ⅡBC【解答】
\(z=\sqrt{\,3\,}+i~,~-\sqrt{\,3\,}+i~,~-2i\)
【より詳しい解説】
\(z^3=8i\) について、\(z\) を極形式で表すと、
\(z=r(\cos \theta+i\sin \theta)~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
これより、
\(z^3=r^3(\cos 3\theta+i\sin 3\theta)~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
また、\(8i\) を極形式で表すと、
\(8i\) の絶対値は \(8\) 、偏角は \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) より、
\(8i=8\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,2\,]}\) と \({\small [\,3\,]}\) より、
\(r^3(\cos 3\theta+i\sin 3\theta)=8\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺の絶対値と偏角を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
r^3=8\\
3\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+2k\pi
\end{array}\right.\end{eqnarray}\) （\(k\) は整数）
\(r \gt 0\) より、\(r=2\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~3\theta&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+2k\pi
\\[5pt]~~~\theta&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}k\pi\end{eqnarray}\)
\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) の範囲で \(k=0~,~1~,~2\) より、
\(k=0\) のとき、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
\(k=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+4\,}{\,6\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(k=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+8\,}{\,6\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,6\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\end{eqnarray}\)
これより、\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(r=2~,~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&2\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+i \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,3\,}+i\end{eqnarray}\)
\(r=2~,~\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&2\left(\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&2\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+i \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-\sqrt{\,3\,}+i\end{eqnarray}\)
\(r=2~,~\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&2\left(\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&2\left\{0+i \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-2i\end{eqnarray}\)
したがって、
\(z=\sqrt{\,3\,}+i~,~-\sqrt{\,3\,}+i~,~-2i\) となる
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