数学C｜複素数平面｜問題一覧 ＞ 問題解説 160
160｜複素数の積と商の極形式
160
\(\alpha=1+\sqrt{\,3\,}i~,~\)\(\beta=2+2i\) とする。次の複素数を極形式で表せ。
ただし、偏角 \(\theta\) は \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) とする。
\(\alpha=1+\sqrt{\,3\,}i~,~\)\(\beta=2+2i\) とする。次の複素数を極形式で表せ。
ただし、偏角 \(\theta\) は \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) とする。
\(\alpha\,\beta=\fbox{ア}\sqrt{\,\fbox{イ}\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エオ}\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,\fbox{ウ}\,}{\,\fbox{エオ}\,}\pi\right)\)
\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,\fbox{カ}\,}\,}{\,\fbox{キ}\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{クケ}\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{クケ}\,}\right)\)
\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,\fbox{カ}\,}\,}{\,\fbox{キ}\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{クケ}\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,\fbox{クケ}\,}\right)\)
※ 数式は横にスクロールできます。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数平面
160 数学ⅡBC【解答】
\(\alpha\,\beta=4\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)\)
\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\)
【より詳しい解説】
\(\alpha=1+\sqrt{\,3\,}i\) より、絶対値 \(r_1\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r_1&=&|\,\alpha\,|
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1^2+(\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
偏角 \(\theta_1\) は、
\(\cos \theta_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\sin \theta_1=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、\(\theta_1=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) となる
よって、
\(\alpha=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\)
\(\begin{eqnarray}~~~r_2&=&|\,\beta\,|
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2^2+2^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,8\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
偏角 \(\theta_2\) は、
\(\cos \theta_2=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}~,~\)\(\sin \theta_2=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、\(\theta_2=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) となる
よって、
\(\beta=2\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\)
したがって、
\(\alpha\,\beta=4\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)\) となる
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\) となる
\(\alpha\,\beta=4\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)\)
\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\)
【より詳しい解説】
\(\alpha=1+\sqrt{\,3\,}i\) より、絶対値 \(r_1\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r_1&=&|\,\alpha\,|
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1^2+(\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
偏角 \(\theta_1\) は、
\(\cos \theta_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\sin \theta_1=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、\(\theta_1=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) となる
よって、
\(\alpha=2\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\)
\(\beta=2+2i\) より、絶対値 \(r_2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r_2&=&|\,\beta\,|
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2^2+2^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,8\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
偏角 \(\theta_2\) は、
\(\cos \theta_2=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}~,~\)\(\sin \theta_2=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、\(\theta_2=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) となる
よって、
\(\beta=2\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\)
これより、積 \(\alpha\,\beta\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\,\beta&=&2 \cdot 2\sqrt{\,2\,} \cdot \left\{\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+i\sin\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&4\sqrt{\,2\,} \cdot \left(\cos \displaystyle \frac{\,4+3\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,4+3\,}{\,12\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&4\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&4\sqrt{\,2\,} \cdot \left(\cos \displaystyle \frac{\,4+3\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,4+3\,}{\,12\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&4\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\alpha\,\beta=4\sqrt{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)\) となる
また、商 \(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}\left\{\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+i\sin\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,4-3\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,4-3\,}{\,12\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,4-3\,}{\,12\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,4-3\,}{\,12\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)\) となる
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