数学C｜空間ベクトル｜問題一覧 ＞ 問題解説 145
145｜空間の点の対称な点の座標
145
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)空間の点 \({\rm P}(1~,~2~,~3)\) と以下のものに関して対称な点の座標は、
\(xy\) 平面：\((\fbox{ア}~,~\fbox{イ}~,~\fbox{ウエ})\)
\(z\) 軸：\((\fbox{オカ}~,~\fbox{キク}~,~\fbox{ケ})\)
原点：\((\fbox{コサ}~,~\fbox{シス}~,~\fbox{セソ})\)
\({\small (2)}~\)空間の点 \({\rm A}(2~,~1~,~-1)\) の、
点 \({\rm B}(1~,~-1~,~-2)\) に関して対称な点 \({\rm C}\) の座標は、\((\fbox{タ}~,~\fbox{チツ}~,~\fbox{テト})\) である。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)空間の点 \({\rm P}(1~,~2~,~3)\) と以下のものに関して対称な点の座標は、
\(xy\) 平面：\((\fbox{ア}~,~\fbox{イ}~,~\fbox{ウエ})\)
\(z\) 軸：\((\fbox{オカ}~,~\fbox{キク}~,~\fbox{ケ})\)
原点：\((\fbox{コサ}~,~\fbox{シス}~,~\fbox{セソ})\)
\({\small (2)}~\)空間の点 \({\rm A}(2~,~1~,~-1)\) の、
点 \({\rm B}(1~,~-1~,~-2)\) に関して対称な点 \({\rm C}\) の座標は、\((\fbox{タ}~,~\fbox{チツ}~,~\fbox{テト})\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトル
145 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(xy\) 平面：\((1~,~2~,~-3)\)
\(\hspace{13pt}\)\(z\) 軸：\((-1~,~-2~,~3)\)
\(\hspace{13pt}\)原点：\((-1~,~-2~,~-3)\)
\({\small (2)}~\)\({\rm C}(0~,~-3~,~-3)\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)点 \({\rm P}(1~,~2~,~3)\) において、
\(xy\) 平面に関して対称な点の座標は、
\(z\) 座標の符号が変わるので
\((1~,~2~,~-3)\)
\(z\) 軸に関して対称な点の座標は、
\(x\) 座標、\(y\) 座標の符号が変わるので
\((-1~,~-2~,~3)\)
原点に関して対称な点の座標は、
すべての座標の符号が変わるので
\((-1~,~-2~,~-3)\)
\({\small (2)}~\)点 \({\rm C}\) の座標を \({\rm C}(x~,~y~,~z)\) とおくと、
点 \({\rm A}\) の、点 \({\rm B}\) に関して対称な点が点 \({\rm C}\) より、線分 \({\rm AC}\) の中点が点 \({\rm B}\) となるので、
線分 \({\rm AC}\) の中点は、
\(\left(\displaystyle \frac{\,2+x\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1+y\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,-1+z\,}{\,2\,}\right)\)
これが点 \({\rm B}(1~,~-1~,~-2)\) と等しいので、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2+x\,}{\,2\,}&=&1
\\[5pt]~~~2+x&=&2
\\[5pt]~~~x&=&0\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1+y\,}{\,2\,}&=&-1
\\[5pt]~~~1+y&=&-2
\\[5pt]~~~y&=&-3\end{eqnarray}\)
\(z\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,-1+z\,}{\,2\,}&=&-2
\\[5pt]~~~-1+z&=&-4
\\[5pt]~~~z&=&-3\end{eqnarray}\)
したがって、点 \({\rm C}\) の座標は、\({\rm C}(0~,~-3~,~-3)\)
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