共通テスト数学ⅡBC｜空間ベクトルの基本問題10問【PDF・解説つき】

148 数学ⅡBC【解答】

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\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=6~,~|\,\overrightarrow{a}\,|=\sqrt{\,6\,}~,~|\,\overrightarrow{b}\,|=2\sqrt{\,6\,}\)

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\(\cos\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\theta=60^{\circ}\)

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【より詳しい解説】
\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]4\\[2pt]-2\end{array}\,\right)\) より、

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内積の値は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&2 \cdot 2+1 \cdot 4+1 \cdot (-2)
\\[3pt]~~~&=&4+4-2
\\[3pt]~~~&=&6~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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また、それぞれのベクトルの大きさは、

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\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,2^2+1^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+1+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,6\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,2^2+4^2+(-2)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+16+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,24\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{\,6\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)

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内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,||\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) より、

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\({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,3\,]}\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~6&=&\sqrt{\,6\,}\cdot 2\sqrt{\,6\,}\cdot\cos\theta
\\[5pt]~~~12\cos\theta&=&6
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(0^{\circ}{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^{\circ}\) より、

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2つのベクトルのなす角は、\(\theta=60^{\circ}\) となる